Чертёж смотрите во вложении.
Дано:ΔАВС - прямоугольный.
∠А = 90°.
∠С = 30°.
Точка М - середина СВ.
МН - серединный перпендикуляр.
Доказать:МН < больший катет (АС) в 3 раза.
Доказательство:Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
Следовательно -
∠С+∠В = 90°
∠В = 90°-∠С
∠В = 90°-30°
∠В = 60°.
Проведём медиану к гипотенузе. Она пересечёт точку М, так как эта точка середина по условию.
Медиана, проведённая к гипотенузе, делит прямоугольный треугольник на два равнобедренных треугольника (так как медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине).
То есть -
ΔАСМ и ΔАМВ - равнобедренные.
Рассмотрим ΔАМВ - равнобедренный. У него есть угол в 60°, а значит, он и равносторонний (признак равностороннего треугольника).
Следовательно, по свойству равностороннего треугольника, ∠АМВ = 60° (каждый угол равностороннего треугольника равен по 60°).
Рассмотрим ΔАСМ - равнобедренный. ∠С = ∠МАС = 30° (так как углы у основания равнобедренного треугольника равны.
Рассмотрим ∠НМВ = 90°.
∠НМВ = ∠НМА+∠АМВ
∠НМА = ∠НМВ-∠АМВ
∠НМА = 90°-60°
∠НМА = 30°.
Так как ∠НМА = ∠НАМ, то ΔАНМ - равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника. Причём НМ = АН (так как лежат против равных углов в одном треугольнике).
Рассмотрим ΔСНМ - прямоугольный. Пусть катет НМ - х.
Против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузе.
То есть -
СН = 2*НМ
СН = 2х.
Но НМ = АН = х (по выше доказанному).
Поэтому -
АС = СН+АН
АС = 2х+х
АС = 3х.
А теперь составим отношение АС и НМ, и сравним их -
Это нам и нужно было доказать.
ответ:что требовалось доказать.
1. Дано: КМРТ - трапеция, КМ=РТ, КТ=14 дм, МР=8 дм. МН - высота, МН=4 дм. Найти КМ.
Решение: проведем высоту РС.
МР=СН=8 дм.
ΔКМН=ΔРСТ по катету и гипотенузе, КН=СТ=(14-8):2=3 дм.
Рассмотрим ΔКМН - прямоугольный, КН=3 дм, МН=4 дм, значит КМ=5 дм (египетский треугольник).
ответ: 5 дм.
2. Дано: КМСТ - прямоугольник, Р=56 см, КТ-МК=4 см. Найти МТ.
Решение: МК+КТ=56:2=28 см. Пусть КТ=х см, тогда МК=х-4 см.
Составим уравнение: х+х-4=28; 2х=32; х=16.
КТ=16 см; МК=16-4=12 см. Тогда по теореме Пифагора
МТ=√(16²+12²)=√(256+144)=√400=20 см.
(или просто: МТ=20 см, т.к. МК:КТ=12:16=3:4; МКТ - египетский треугольник)
ответ: 20 см.