Question

Знайти площу трикутника з вершинами в точках A(2; 1; 7),B(−1; 1; 3), C(−8; 1; 2).

Answer 1

Найдем длины отрезков AB, BC и AC

$|AB|=\sqrt{{ (x_B - x_A) }^{2}+ { (y_B - y_A)}^{2}+{ (z_B - z_A)}^{2}}$

$|AB| = \sqrt{ {( - 1 - 2)}^{2} + {(1 - 1)}^{2} + {(3 - 7)}^{2}} = \\ \sqrt{9 + 0 + 16} = \sqrt{25} = 5$

$|BC| = \sqrt{ {( - 8 - ( - 1))}^{2} + {(1 - 1)}^{2} + {(2 - 3)}^{2} } = \\ \sqrt{49 + 0 + 1} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$

$|AC| = \sqrt{ {( - 8 - 2)}^{2} + {(1 - 1)}^{2} + {(2 - 7)}^{2} } = \\ \sqrt{100 + 0 + 25} = 5 \sqrt{5}$

Теперь найдем площадь по формуле Герона:

$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$

p – полупериметр

$p = \frac{5 + 5 \sqrt{2} + 5 \sqrt{5} }{2}$

$S = \sqrt{ (\frac{5 + 5 \sqrt{2} + 5 \sqrt{5} }{2}) ( \frac{5 +5 \sqrt{2} + 5 \sqrt{5} }{2} - 5)( \frac{5 + 5 \sqrt{2} + 5 \sqrt{5} }{2} - 5 \sqrt{2})( \frac{5 + 5 \sqrt{2} + 5 \sqrt{5} }{2} - 5 \sqrt{5})} = \\ \sqrt{ \frac{5 + 5 \sqrt{2} + 5 \sqrt{5} }{2} \times \frac{ - 5 + 5 \sqrt{2} + 5 \sqrt{5} }{2} \times \frac{5 - 5 \sqrt{2} + 5 \sqrt{5} }{2} \times \frac{5 + 5 \sqrt{2} - 5 \sqrt{5} }{2} } = \\ \sqrt{ \frac{(5 + 5 \sqrt{2} + 5 \sqrt{5})( 5 \sqrt{5} - 5 + 5 \sqrt{2})(5 \sqrt{5} + 5 - 5 \sqrt{2} )(5 + 5 \sqrt{2} - 5 \sqrt{5}) }{16} } = \\ \frac{ \sqrt{( {(5 + 5 \sqrt{2} )}^{2} - 25 \times 5)(25 \times 5 - {( - 5 + 5 \sqrt{2}) }^{2}) } }{4} = \\ \frac{ \sqrt{(25 + 50 \sqrt{2} + 50 - 125)(125 - (50 - 50 \sqrt{2} + 25)) } }{4} = \\ \frac{ \sqrt{(50 \sqrt{2} - 50)(50 \sqrt{2} + 50)} }{4} = \\ \frac{ \sqrt{2500 \times 2 - 2500} }{4} = \frac{ \sqrt{2500} }{4} = \frac{50}{4} = \frac{25}{2} = 12.5$

Площадь треугольника 12,5.