У треугольников ABC и DEC стороны общего угла пропорциональны. CE = CB*cos(C); CD = CA*cos(C); поэтому эти треугольники подобны, и AB = ED/cos(C); Поскольку ∠HEC = ∠HDC = 90°; то окружность, построенная на CH, как на диаметре, пройдет через точки D и E. Поэтому CH - диаметр окружности, описанной вокруг треугольника DEC, и по теореме синусов ED = CH*sin(C); Отсюда sin(C) = 12/13; => cos(C) = 5/13; AB = 60*13/5 = 156;
Можно получить такую "обратную теорему Пифагора" (1/ED)^2 = (1/AB)^2 + (1/CH)^2; :) это соотношение решает задачку в общем виде, если в условии не скрыта Пифагорова тройка (как тут - 5,12,13)
ответ: 6 целых 4/7
Объяснение: рассмотрим ∆АВС. В нём известны 3 стороны, и мы можем найти используя теорему косинусов угол А:
cosA=(AB²+AC²-BC²)/2×AB×AC=
=(8²+4²-6²)/2×8×4=(64+16-36)/64=64/64=1
cosA=1
Обозначим пропорции для разных сторон как: АМ=2х, 5х, а АВ как 3у, 4у
АМ=5х; АР=3х; ВР=4х
АС=4=2х.
2х=4
х=4÷2=2; х=2
АМ=5×2=10; АМ=10
Составим уравнение по стороне АВ:
3у+4у=8
7у=8
у=8/7
АР=3у=3×8/7=24/7;. АР=24/7
Найдём РМ, используя теорему косинусов: РМ²=АР²+АМ²-2×АР×АМ×cosA=
=(24/7)²+10²-2×24/7×1=
(576/49)+100-(480/7)= здесь находим общий знаменатель и получаем:
(576/49)+(4900/49)-(3360/49)=
=2116/49; РМ=√2116/49=46/7
или 6 целых 4/7