Question

Стороны основания прямоугольного параллелепипеда относятся как 3:2, а вертикальное диагональное сечение представляет собой квадрат с площадью, равной 169. Найдите объем параллелепипеда.

Answer 1

Объем прямоугольного параллелепипеда равен 1014 куб. ед.

Объяснение:

$ABCD A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ - прямоугольный параллелепипед

АВ : ВС = 3 : 2.

Диагональное сечение - квадрат $B B_{1}D_{1}D$ .

Его площадь равна 169 кв. ед.

Надо найти объем прямоугольного параллелепипеда.

Площадь квадрата определяется по формуле:

$S=a^{2} ,$

где a- сторона квадрата.

Тогда

$a^{2} =169;\\a=13$

Стороны данного квадрата равны 13 ед.

$B B_{1}=BD =D_{1}D =D_{1} B_{1} =13$ ед.

Если параллелепипед прямоугольный, то в основании прямоугольник.  

Рассмотрим Δ ABD - прямоугольный.

Так как по условию АВ : ВС = 3 : 2, то пусть АВ =3х ед., ВС =2х ед.

Применим теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Составим и решим уравнение:

$(3x)^{2} +(2x)^{2} =13^{2} ;\\9x^{2} +4x^{2} =13^{2} ;\\13x^{2} =13^{2}|:13;\\x^{2} =13;\\x=\sqrt{13}$

Тогда АВ =3√13 ед., ВС =2√13 ед.

Для того чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, надо длину умножить на ширину и на высоту.

$V= AB\cdot BC \cdot BB_{1} ;\\V= 3\sqrt{13} \cdot 2\sqrt{13} \cdot 13=6\cdot13\cdot13=6\cdot 169= 1014$ куб. ед.

#SPJ1