При центральной симметрии отрезок отображается в равный и параллельный ему отрезок.
Стороны шестиугольника А₁А₂ и А₄А₅ равны и параллельны, значит эти отрезки центрально-симметричны. Центр симметрии - точка пересечения отрезков А₁А₄ и А₂А₅ - точка О. По определению центральной симметрии точка О - середина этих отрезков.
Аналогично, отрезки А₂А₃ и А₅А₆ центрально-симметричны относительно точки пересечения отрезков А₂А₅ и А₃А₆, которая является их серединой. Но середина отрезка А₂А₅ - точка О, значит точка О и середина отрезка А₃А₆. Итак, все диагонали пересекаются в одной точке.
Дан треугольник, две стороны которого равны по 10 см, третья - 12 см. Этот треугольник равнобедренный. Обозначим его АВС, АВ=ВС. Проведем высоту ВН к основанию. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является его медианой. ⇒ АН=СН=6 см. По т.Пифагора ВН=√(АВ²-АН²)=√(100-36)=8 см. Высоты к боковым сторонам равнобедренного треугольника равны. Найдем их из площади ∆ АВС.
Ѕ(АВС)=АС•ВН:2=48 см² В то же время Ѕ(АВС)=СМ•АВ:2, поэтому СМ•10:2=48 см², откуда СМ=АК=96:10=9,6 см.
Находим отрезок MD: MD = OM/tg(a) = r/tg(a/2).
Для правильной треугольной пирамиды высота основания AD = 3MD.
h = AD = 3r/tg(a/2).
Отсюда находим ребро основания: a = AD/cos30° = (3r/tg(a/2)/(√3/2) = (√3r/(2tg(a/2)).
Тогда площадь основания So = a²√3/4 = (3r²/(4tg²(a/2))*(√3/4) =
= (3√3r²/16tg²(a/2)).
Площадь боковой поверхности Sбок = So/cos(a) = (3√3r²/16tg²(a/2))/cos(a) = (3√3r²/16sin²(a/2))*cos(a)).
Получаем ответ: площадь полной поверхности равна S = So + Sбок =
= So + So/cos(a) = So(1 + (1/cos(a)) = (3√3r²/16tg²(a/2))* (1 + (1/cos(a)).