Question

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 со стороной основания равной 2 точки M и N являются серединами сторон AC и BC соответственно. Угол между прямыми A1N и B1M равен 60°. Определить объем призмы.

Answer 1

Объем призмы равен $3\sqrt{2}$

Объяснение:

(Рис. 1)

Тт. ${A_1},$$M,$$N$ и ${B_1}$ лежат в одной плоскости и, будучи соединены последовательно, образуют равнобокую трапецию ($MN$ — средняя линия $\triangle ABC,$ поэтому $MN\parallel AB\parallel {A_1}{B_1},$$MN = \displaystyle\frac{{AB}}{2} = 1,$${A_1}M = {B_1}N$).

Поэтому угол, о котором идет речь в условии задачи — это угол между диагоналями трапеции.

Далее возможны два варианта: $\angle MON = \angle {A_1}O{B_1} = 60^\circ$  либо $\angle {A_1}OM = \angle {B_1}ON = 60^\circ ,$ тогда $\angle MON = \angle {A_1}O{B_1} = 120^\circ$  (см. рис. 2).

Решим задачу в общем виде (рис. 3). Пускай $\angle MON = \alpha ,$$\angle MO{A_1} = 180^\circ - \alpha .$ Продлим нижнее основание ${B_1}{A_1}$ за точку ${A_1}$ на длину верхнего основания: ${A_1}K = NM = 1.$ Тогда образовавшийся четырехугольник ${A_1}NMK$ — параллелограмм, $N{A_1}\parallel MK,$$N{A_1} = MK.$ Значит $\angle {B_1}MK = \alpha ,$ а

$\angle M{B_1}K = \angle MK{B_1} = \displaystyle\frac{{180^\circ - \alpha }}{2} = 90^\circ - \displaystyle\frac{\alpha }{2}.$

По теореме синусов

$\displaystyle\frac{a}{{\sin \alpha }} = \displaystyle\frac{b}{{\sin \beta }} = \displaystyle\frac{c}{{\sin \gamma }},$

используя формулу приведения и формулу синуса двойного угла найдем длину диагонали:

$\displaystyle\frac{{{B_1}K}}{{\sin \angle {B_1}MK}} = \displaystyle\frac{{MK}}{{\sin \angle B{M_1}K}};$

$\displaystyle\frac{{2 + 1}}{{\sin \alpha }} = \displaystyle\frac{{MK}}{{\sin \left( {90^\circ - \displaystyle\frac{\alpha }{2}} \right)}};$

$\displaystyle\frac{3}{{\sin \alpha }} = \displaystyle\frac{{MK}}{{\cos \displaystyle\frac{\alpha }{2}}};$

$MK = \displaystyle\frac{{3\cos \displaystyle\frac{\alpha }{2}}}{{\sin \alpha }} = \displaystyle\frac{{3\cos \displaystyle\frac{\alpha }{2}}}{{2\sin \displaystyle\frac{\alpha }{2}\cos \displaystyle\frac{\alpha }{2}}} = \displaystyle\frac{3}{{2\sin \displaystyle\frac{\alpha }{2}}}.$

Треугольники $MON$ и ${B_1}O{A_1}$ подобны, $\displaystyle\frac{{MN}}{{{B_1}{A_1}}} = \displaystyle\frac{1}{2},$ значит и $\displaystyle\frac{{NO}}{{O{A_1}}} = \displaystyle\frac{{MO}}{{O{A_1}}} = \displaystyle\frac{1}{2},$ отсюда

$MO = \displaystyle\frac{1}{3}N{A_1} = \displaystyle\frac{1}{3}MK = \displaystyle\frac{1}{3} \cdot \displaystyle\frac{3}{{2\sin \displaystyle\frac{\alpha }{2}}} = \displaystyle\frac{1}{{2\sin \displaystyle\frac{\alpha }{2}}},$

$O{A_1} = 2MO = \displaystyle\frac{1}{{\sin \displaystyle\frac{\alpha }{2}}}.$

По теореме косинусов для треугольника $OM{A_1}$

$MA_1^2 = M{O^2} + OA_1^2 - 2MO \cdot O{A_1}\cos \angle MO{A_1};$

$MA_1^2 = \displaystyle\frac{1}4\sin }^2}\displaystyle\frac{\alpha }{2}}} + \displaystyle\frac{1}\sin }^2}\displaystyle\frac{\alpha }{2}}} - 2 \cdot \displaystyle\frac{1}{{2\sin \displaystyle\frac{\alpha }{2}}} \cdot \displaystyle\frac{1}{{\sin \displaystyle\frac{\alpha }{2}}}\cos (180^\circ - \alpha ) =$

$=\displaystyle\frac{5}4\sin }^2}\displaystyle\frac{\alpha }{2}}} - \displaystyle\frac{1}\sin }^2}\displaystyle\frac{\alpha }{2}}}( - \cos \alpha ) = \displaystyle\frac{{5 + 4\cos \alpha }}4\sin }^2}\displaystyle\frac{\alpha }{2}}},$

откуда

$M{A_1} = N{B_1} = \displaystyle\frac{{\sqrt {5 + 4\cos \alpha } }}{{2\sin \displaystyle\frac{\alpha }{2}}}.$

Тогда если $\alpha = 60^\circ ,$

$M{A_1} = N{B_1} = \displaystyle\frac{{\sqrt {5 + 4\cos 60^\circ } }}{{2\sin 30^\circ }} = \displaystyle\frac{{\sqrt {5 + 4 \cdot \displaystyle\frac{1}{2}} }}{{2\cdot\displaystyle\frac{1}{2}}} = \sqrt 7 .$

Если же $\alpha = 120^\circ ,$ тогда

$M{A_1} = N{B_1} = \displaystyle\frac{{\sqrt {5 + 4\cos 120^\circ } }}{{2\sin 60^\circ }} = \displaystyle\frac{{\sqrt {5 - 4 \cdot \displaystyle\frac{1}{2}} }}{{2\cdot\displaystyle\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \sqrt 3 :\sqrt 3= 1.$

Теперь возвращаясь к призме, можем вычислить ее высоту. В прямоугольном треугольнике ${A_1}AM$ по теореме Пифагора:

если $\alpha = 60^\circ ,$

$h = A{A_1} = \sqrt {MA_1^2 - A{M^2}} = \sqrt {{{(\sqrt 7 )}^2} - {1^2}} = \sqrt {6},$

если $\alpha = 120^\circ ,$

$h = A{A_1} = \sqrt {MA_1^2 - A{M^2}} = \sqrt {{1^2} - {1^2}} = 0$

(при таком значении угла не складывается пространственная фигура — ее высота равна 0, следовательно, случай $\alpha=120^\circ$ — посторонний).

Площадь основания призмы вычислим по формуле площади равностороннего треугольника

$S = \displaystyle\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \displaystyle\frac{{{2^2}\sqrt 3 }}{4} = \sqrt 3 .$

Окончательно, объем призмы:

$V = Sh = \sqrt 3 \cdot \sqrt 6 = \sqrt{18}=3\sqrt{2}.$

Answer 2

Правильная призма

- прямая - боковые грани перпендикулярны основанию

- в основании правильный многоугольник

Проекциями отрезков A1N и B1M являются медианы AN и BM основания ABC. Следовательно, так же как и медианы равностороннего ABC, отрезки A1N и B1M равны и точкой пересечения T делятся 2:1.

MN=AB/2=1 (средняя линия)

MT=NT, ∠MTN=60° => △MTN - равносторонний (р/б с углом 60°)

MT=MN=1; B1M=3MT=3

BM=AB sin60° =√3

BB1 =√(B1M^2-BM^2) =√(9-3) =√6

V =S(ABC)BB1 =4 √3/4 *√6 =3√2