Question

У прямокутнийтрикутник АВС (  В=900) вписано квадрат. Знайдітьплощу квадрата, якщо АВ=12 см, ВС=16 см.

Answer 1

Площадь квадрата равна $42\frac{{102}}{{1369}}$ см2.

Объяснение:

Треугольники $ANK$, $FMC$ и $ABC$ подобны (одинаковые углы обозначены одним цветом).

Пусть сторона квадрата равна $x$. Тогда из треугольника $AKN$

$\displaystyle\frac{{AN}}{{KN}} = \displaystyle\frac{{AB}}{{BC}} = \displaystyle\frac{{12}}{{16}} = \displaystyle\frac{3}{4},\ AN = \displaystyle\frac{3}{4}x.$

Из треугольника $FMC$

$\displaystyle\frac{{FM}}{{MC}} = \displaystyle\frac{{AB}}{{BC}} = \displaystyle\frac{3}{4},\ MC = \displaystyle\frac{4}{3}x.$

Значит гипотенуза

$AC = AN + NM + MC = \displaystyle\frac{3}{4}x + x + \displaystyle\frac{4}{3}x = \displaystyle\frac{{9 + 12 + 16}}{{12}}x = \displaystyle\frac{{37}}{{12}}x.$

По теореме Пифагора из треугольника $ABC$

$A{B^2} + B{C^2} = A{C^2};{12^2} + {16^2} = {\left( {\displaystyle\frac{{37}}{{12}}x} \right)^2};{\left( {\displaystyle\frac{{37}}{{12}}x} \right)^2} = 400;displaystyle\frac{{37}}{{12}}x = 20;x = 20 \cdot \displaystyle\frac{{12}}{{37}} = \displaystyle\frac{{240}}{{37}}.$

Значит площадь квадрата равна

$S = {x^2} = {\left( {\displaystyle\frac{{240}}{{37}}} \right)^2} = \displaystyle\frac{{57\,600}}{{1369}} = 42\displaystyle\frac{{102}}{{1369}}.$