Question

У коло радіуса R вписано трапецію, нижня основа якої вдвічі більша від кожної з решти сторін. Знайти площу трапеції.

Answer 1

Площадь трапеции равна $\frac{{3\sqrt 3 {R^2}}}{4}$

Объяснение:

Пусть $P$ — середина нижнего основания $AD$. Тогда $AP = PD = AB = BC = CD$.

Соединим точку $P$ с вершинами $B$ и $C$. Тогда $ABCP$ и $PBCD$ ромбы,  а образовавшиеся треугольники $ABP$, $BPC$ и $PCD$ — равносторонние.

Из равенства $PA = PB = PC = PD$ следует, что $P$ — центр описанной окружности, а все перечисленные отрезки — ее радиусы.

Трапеция состоит из трех одинаковых равносторонних треугольников, площадь каждого из которых через сторону вычисляется по формуле

$S = \displaystyle\frac{{{R^2}\sqrt 3 }}{4}.$

Значит площадь трапеции равна

${S_T} = 3 \cdot \displaystyle\frac{{{R^2}\sqrt 3 }}{4} = \displaystyle\frac{{3\sqrt 3 {R^2}}}{4}.$