Question

У равнобедренной трапеции диагональ 4см и с большой основой составляет 45 градусный угол. Найти среднюю линию трапеции. Найти площадь трапеции

Answer 1

Средняя линия трапеции равна $2\sqrt 2$;

площадь трапеции равна 4

Объяснение:

Проведем $CE\parallel BD$. Тогда четырехугольник $DBCE$ параллелограмм, $DE = BC$, $\angle ACE$ — угол между диагоналями. Так как $\angle CAD = \angle BDA = 45^\circ$, то $\angle AOD = \angle ACE = 180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ$.

В треугольнике $ACE$ по теореме Пифагора

$AE = \sqrt {A{C^2} + C{E^2}} = \sqrt {{4^2} + {4^2}} = \sqrt {16 + 16} = \sqrt {32} = 4\sqrt 2 .$

Но $AE = BC + AD$, тогда средняя линия трапеции

$\displaystyle\frac{{BC + AD}}{2} = \displaystyle\frac{{AE}}{2} = \displaystyle\frac{{4\sqrt 2 }}{2} = 2\sqrt 2 .$

Найдем высоту $CH$ прямоугольного треугольника $ACE$ (она же и высота трапеции) по формуле

$h = \displaystyle\frac{{ab}}{c} = \displaystyle\frac{{AC \cdot CE}}{{AE}} = \displaystyle\frac{{4 \cdot 4}}{{4\sqrt 2 }} = \displaystyle\frac{4}{{\sqrt 2 }} = \displaystyle\frac{{4\sqrt 2 }}{2} = 2\sqrt 2 .$

${S_{ABCD}} = \displaystyle\frac{{AB + CD}}{2} \cdot CH = \displaystyle\frac{{AE}}{2} \cdot CH.$

Значит

${S_{ABCD}} = \displaystyle\frac{{2\sqrt 2 }}{2} \cdot 2\sqrt 2 = 4.$

Answer 2

Вообще  она решается в  одну  строчку ( см .  комменты  выше после условия  ) , но для полноты  решения  пришлось добавить ещё  две

Объяснение: