Дан треугольник с вершинами А(3, -7); В(-1, 4); С(-6, -5).
а) Высота из точки А на ВС - перпендикуляр АЕ.
Составляем уравнение стороны ВС: вектор ВС = (-5; -9). Точка В.
ВС: (х + 1)/(-5) = (у - 4)/(-9) канонический вид
-9x + 5y - 29 = 0 общий вид
у = 1,8х + 5,8 с угловым коэффициентом.
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой к ВС равен:
к = -1/(к(ВС) = -1/(9/5) = -5/9.
Уравнение имеет вид у = (-5/9)х + в.
Для определения в подставим координаты точки А(3,-7).
-7 = (-5/9)*3 + в,
в = -7 + (15/9) = -48/9.
Получаем уравнение ВE: у = (-5/9)x - (48/9).
б) Середина АС - точка Д((3-6)/2=-1,5; (-7-5)/2=-6) = (-1,5; -6).
Вектор ВД = (-1,5-(-1)=-0,5; (-6-4)/2=-10) = (-0,5; -10)
Уравнение ВД: (х + 1)/(-0,5) = (у - 4)/(-10).
Можно привести к целым числам, умножив знаменатели на -2:
(х + 1)/1) = (у - 4)/20.
Общий вид у - 20х - 24 = 0,
С угловым: у = 20х + 24.
а) Из условия имеем, что точка пересечения высот лежит на FD. Это может быть только если тр-к DFE - прямоугольный, угол F = 90 гр.
Найдем катет FD:
FD = кор(17^2 - 8^2) = 15
Площадь: S = 8*15/2 = 60
б) Из условия имеем, что DK - и биссектриса и медиана. Значит DEF - равнобедренный. DF = DE = 17, EF = 8
Полупериметр: р = (8+17+17)/2 = 21
Площадь:
S = кор(21*13*4*4) = 4кор273 (примерно 66)
в) Из условия имеем, что биссектриса DK является еще и срединным перпендикуляром. Значит треугольник DEF - равнобедренный. DE= DF=17
Далее решение аналогично п.2.
ответ: 4кор273 = 66 (примерно).
P.S. В 1) и 2) мы воспользовались тем, что прямая и точка, не прин. этой прямой - задают плоскость и притом только одну. Если же говорят о 2 и более плоскостях, значит точка лежит на этой прямой. В 3) мы воспользовались утверждением, что прямая может пересечь плоскость только в одной точке.