1) Объём конуса равен (формула) (1/3)π*R²*h
R - радиус
h - высота
Теорема Пифагора в этом случае: R² + h²=L², выразим R² = (L²- h²) м²
Получилось, что V = (π*( L² - h²)*h)/3 = (π/3)*( L²*h - h³) м³.
Далее: V'(h) = (π/3)*( L² - 3h²). (Это производная)
Нужно прировнять производную к нулю, видим: (π/3)*( L² - 3h²) = 0.
Теперь и второе выражение приравниваем к нулю:
И выражаем: h = √(( L²)/3) = L/√3 = 22,8/√3 примерно равно 4,77493 см.
h у нас положительно число (т.е больше нуля) получается, что: h= (L/√3)! Максимальная!
4,77/√3=(примерно)3.
И нужно подставить значение высоты: h = (L/√3) в уравнение объёма:
V = (π/3)*(L²*(L/√3)-(L/√3)³) = (2π*L3)/(3*√3).
Получаем то, что
V = (2π*22,8*3)/(2/√3) примерно получаем 118
cм³.
ответ: 118
А, если посчитать с числом пи, то получим примерно 371 см²
Конус.
L = РА = 5 (м).
∠РАО = 30°.
Найти:V - ? (м³).
Решение:V = (1/3)πR²h
Осевое сечение этого конуса (если ось плоскость проходит через ось конуса) - равнобедренный треугольник, а высота ВН делит этот равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных △АРО и △ВРО (их равенство можно доказать по всем признакам равенства прямоугольных треугольников, исходя из того, что △АРВ - равнобедренный)
Если угол прямоугольного треугольника равен 30°, то напротив лежащий катет равен половине гипотенузы.
⇒ РО = Н = 5/2 = 2,5 (м).
Найдём радиусы АО и ВО, по теореме Пифагора: (с² = а² + b², где с - гипотенуза, а, b - катеты).
b = √(c² - a²) = √(5² - 2,5²) = √(25 - (5/2)²) = √(25 - 25/4) = √75/4 = √75/2 = 5√3/2 (м).
Итак, АО = ВО = 5√3/2 (м).
V = π((5√3/2)² ⋅ 2,5 ⋅ 1/3) = π(25/4 ⋅ 5/2 ⋅ 1/3) = 125/8π = 15,625π (м³).
ответ: 15,625π (м³).