Понятно, зачем нам сказано, что биссектрисы пересекаются в одной точке - ведь эта точка равноудалена от . сторон четырехугольника и поэтому является центром вписанной окружности. А раз в четырехугольник можно вписать окружность, суммы противоположных сторон равны. Таким образом, ME+BD=MD+BE. Это равенство позволяет найти третью сторону треугольника, используя связь между сторонами и медианами треугольника, а также тот факт, что медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
Пусть AB=c, BC=a, CA=b, тогда
. Поэтому
а умножив для упрощения это равенство на 6 и подставив b=12 и c=10, получаем
При всей моей любви к иррациональным уравнениям, решать это уравнение не хочется. Давайте попробуем угадать решение. И если Вы достаточно настойчивы, то удача в этой задаче к Вам придет - подходит a=10. (
). Другого решения быть не может, поскольку при a>0 правая часть возрастает, а левая убывает.
Таким образом, мы доказали, что наш треугольник равнобедренный со сторонами 12, 10 и 10. Иными словами, он состоит из двух прямоугольных треугольников с гипотенузой 10 и катетом 6, то есть треугольников, подобных египетскому 3-4-5. Площадь египетского треугольника равна 6, подобного треугольника с коэффициентом подобия 2 равна 24, а поскольку их два, суммарная площадь равна 48.
И наконец, кто не знает формулу для длины медианы, можно воспользоваться или теоремой косинусов, или теоремой Стюарта, или теоремой о сумме длин диагоналей параллелограмма.
Объяснение:
Тангенс угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к прилежащему. Проведём дополнительные прямые линии так, чтобы получить прямоугольные треугольники, из которых можно будет найти катеты необходимых углов и воспользуемся формулами тангенса суммы и разности углов.
а)
tg∠A = BC / AC = 3/6 = 1/2
ctg∠A = AC / BC = 6/3 = 2
б)
tg∠B = AC / BC = 4/6 = 2/3
ctg∠B = BC / AC = 6/4 = 3/2
№2
Тангенс угла в прямоугольном треугольнике -это отношение противолежащего катета к прилежащему. Проведём дополнительные прямые линии так, чтобы получить прямоугольные треугольники, из которых можно будет найти катеты необходимых углов и воспользуемся формулами тангенса суммы и разности углов.
tg(a-β)=tga-tgβ/1+tga×tgβ; tg(a+β)= tga+tgβ/1-tga×tgβ
a)tg ∠BAC = tg(∠BAD-∠CAD) =tg∠BAD- tg-∠CAD/1+tg∠BAD×tg∠CAD=∠BAD= BK/AK=5/5=1; tg∠CAD= CD/AD=3/6=1/2=1-1/2/1+1×1/2=1/2/3/2=1/3
ctg∠BAD=1/tg∠BAD=1/1/3
b) tg∠ABC=tg(∠CBD+∠KBA) =tg∠CBD+tg∠KBA/1-tg∠CBD×tg∠KBA=tg∠CBD=CD/BD=1/3; tg∠KBA=AK/BK=5/5=1=1/3+1/1-1×1/3=4/3/2/3=4/2=2
ответ:Для доведення рівності AC = BM у даній геометричній конфігурації, ми можемо скористатись властивостями паралельних прямих та трикутників, сформованих в результаті їх перетину.
За умовою, пряма AB паралельна прямій CM, а пряма AC перетинає їх обидві. Так само, пряма AB паралельна прямій CM, а пряма BM перетинає їх обидві.
Ми можемо сформувати трикутники ABC і BMD, де А і В лежать на прямій а, а С і М лежать на прямій b.
За властивостями паралельних прямих, ми маємо такі відношення:
AC || BM (по прямим)
AB || CM (по умові)
AC/AB = BM/CM (з властивостей паралельних прямих)
Згідно з властивостями трикутників, які мають однакові кути, вони подібні. Так як кути при вершинах A і B в обох трикутниках є прямими кутами, ми маємо подібність трикутників ABC і BMD.
Застосуємо властивість подібних трикутників:
AC/AB = BM/MD (з подібності трикутників)
Оскільки AB || CM, ми також маємо:
AB/CM = BM/MD (з властивостей паралельних прямих)
Помножимо обидві рівності:
(AC/AB) * (AB/CM) = (BM/MD) * (BM/MD)
Зауважимо, що (AB/CM) * (CM/AB) = 1, оскільки ці два відношення є оберненими.
Таким чином, ми отримуємо:
(AC/AB) = (BM/MD) * (BM/MD)
Ми також помітимо, що MD = CM, оскільки вони є відрізками прямої CM.
Таким чином, ми маємо:
(AC/AB) = (BM/CM) * (BM/CM)
Оскільки (AC/AB) = 1 (з властивості рівних частин), ми отримуємо:
1 = (BM/CM) * (BM/CM)
Або ж:
1 = (BM/CM)^2
Піднявши обидві сторони рівняння до квадрату, ми отримуємо:
1 = BM/CM
Таким чином, ми довели, що AC = BM, що було потрібно показати.
BM