Question

треугольнике ABC к стороне AB проведена медиана CM, биссектриса CL и высота CH. Найти отношение длин отрезков ML : LH, если ∠С = 900, ∠А = α и sin2α = 0,4.

Answer 1

Объяснение:

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами треугольника и формулами тригонометрии.

Из условия задачи, у нас есть треугольник ABC, где проведены медиана CM, биссектриса CL и высота CH. Нам нужно найти отношение длин отрезков ML : LH.

Поскольку угол C равен 90°, треугольник ABC является прямоугольным треугольником. Это позволяет использовать некоторые специфические свойства этого треугольника.

   Медиана CM в прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы. Так как сторона AB является гипотенузой, то CM = AB / 2.

   Высота CH также является линией, опущенной из вершины прямого угла C к гипотенузе AB.

   Биссектриса CL делит угол CAB на два равных угла. Так как у нас уже есть угол A = α, то угол ACL равен α / 2.

Нам также дано, что sin^2(α) = 0.4. Зная это, мы можем найти значение sin(α).

sin^2(α) = 0.4

sin(α) = √0.4

sin(α) = 0.632

Теперь мы можем рассчитать отношение длин отрезков ML : LH:

   В треугольнике ACL:

   sin(ACL) = LH / CL

   sin(α / 2) = LH / CL

   LH = CL * sin(α / 2)

   В треугольнике CML:

   sin(CML) = ML / CL

   sin(90° - α / 2) = ML / CL

   ML = CL * sin(90° - α / 2)

   Мы также знаем, что CM = AB / 2. Подставим это значение в формулы для ML и LH:

   ML = (AB / 2) * sin(90° - α / 2)

   LH = (AB / 2) * sin(α / 2)

Теперь мы можем найти отношение ML : LH:

ML / LH = [(AB / 2) * sin(90° - α / 2)] / [(AB / 2) * sin(α / 2)]

ML / LH = sin(90° - α / 2) / sin(α / 2)

Используя тригонометрические тождества sin(90° - x) = cos(x) и sin(x) / cos(x) = tan(x), получаем:

ML / LH = cos(α / 2) / sin(α / 2)

ML / LH = tan(α / 2)

Таким образом, отношение длин отрезков ML : LH равно tan(α / 2).