Пусть SO - высота пирамиды. МК пересекает SO в её середине (точка Р), поскольку является средней линией треугольника SAС.
Если через точку В провести прямую II AC и МК (одновременно - они между собой параллельны), то эта прямая будет принадлежать обеим плоскостям ВМК и АВС, будет перпендикулярна ВО и РО (РО вообще перпендикулярно плоскости АВС), а => и РВ. Поэтому искомый угол - это ОВР, обозначим его за Ф, ясно, что
tg(Ф) = РО/ВО. Вобщем-то, задача решена, так как РО = SO/2;
ВО = 6*корень(2)/2 = 3*корень(2); SO = корень(SB^2 - ВО^2) = корень(8^2 - (3*корень(2))^2) = корень(46); PO = корень(46)/2;
Какой-то тангенс получился кривой, и, как я не крутил, нормальных чисел не вышло.
Ну, tg(Ф) = корень(23)/6.
СН - высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника АВС. В прямоугольном треугольнике ВСН (<H=90°) угол НСВ равен 90° - <B (так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°). Точно так же в прямоугольном треугольнике АВС (<С=90°) угол САВ равен 90° - <B. Следовательно, прямоугольные треугольники САН и ВСН подобны по острому углу (первый признак), так как <CAH=<HCB=(90° - <B) (доказано выше). Кроме того, треугольники САН и НСВ подобны исходному треугольнику АВС по этому же острому углу.
Что и требовалось доказать.