Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.
Пусть 
см и 
см, тогда 
, что по условию он равен 9 см.
Следовательно, 
см и 
см
Аналогично, пусть теперь 
см и 
, тогда 
и по условию равен 12 см
Таким образом, 
см и 
см.
По условию медианы треугольника AD и BE взаимно перпендикулярны, следовательно
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника 
см
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника 
см
Тогда 
см
Из прямоугольного треугольника 
по теореме Пифагора
см
Тогда 
см
ответ: 
см; 
см; 
см.
В основании пирамиды лежит квадрат со стороной а, проекция бокового ребра на основания даст половину диагонали квадрата = 12*cos60 = 6 см. Диагональ квадрата
равна 12 см, отсюда сторона квадрата а = 12/√2 см.
Площадь основания a² = 144/2 = 72 см²
Боковая поверхность пирамиды равна площади 4х граней (треугольников) основание которых а, а высота равна апофеме H.
Высота пирамиды находится по боковому ребру h = 12*sin60 = 12*√3/2= 6√3
H=√[(a/2)²+h²] = √[(12/√2)²+(6√3)²] = √(72+12)=√84
s=a*H/2 = 12/√2 * √84/2 = 6√42
Полная поверхность S = 72 + 24√42 ≈ 227,5 см²
Доказательство:
Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами а и b и гипотенузой с.
Составим из четырех таких треугольников квадрат со стороной а + b как на рисунке.
Внутри получим квадрат со стороной с.
Площадь большого квадрата равна сумме площадей составляющих его фигур:
S = 4·SΔ + c² = 4 · ab/2 + c²
или
S = (a + b)²
Приравняем правые части:
2ab + c² = (a + b)²
2ab + c² = a² + b² + 2ab
c² = a² + b²
Что и требовалось доказать.