Question

Две окружности радиусов 4 и 8 касаются в точке а. через точку а проведена прямая, пересекающая большую окружность в точке в, а меньшую – в точке с. найдите ав, если известно, что вс = 6 корень из 2. точка р лежит на дуге окружности, описанной около равностороннего треугольника авс. докажите, что рс = ра + рв.

Answer 1

1) Если соединить точки С и В с центрами окружностей, то получим подобные равнобедренные треугольники.
Отношение СА/АВ = 4/8=1/2.
Отрезок ВС делится точкой А в отношении 1/2. т.е. АВ =6V2*(2/3) = 4V2 = 5,656854.
2) Тут не ясно - РС = РА + РВ???

Answer 2

Решение первой задачи дано. Нет смысла повторяться, хотя можно дать немного иное решение ( из подобия треугольников АВД и АСЕ) с тем же результатом.   
Задача 2. 
Точка Р лежит на дуге окружности, описанной около равностороннего треугольника АВС. Докажите, что РС = РА + РВ.

Угол АРС опирается на ту же дугу, что угол АВС. Следовательно
 Угол АРС =60°
Угол СРВ на том же основании равен 60°. 
Выразим АС по т. косинусов из треугольника АРС.
АС²=АР²+РС²-2 АР*РС cos(60°)
Выразим ВС по т. косинусов из треугольника ВРС.
ВС²=ВР²+РС²-2 ВР*РС cos(60°)
 АС=ВС как стороны равностороннего треугольника, приравняем эти два уравнения. 
АР²+РС²-2 АР·РС cos(60°)=ВР²+РС²-2 ВР·РС cos(60°)
АР²-ВР²=РС²-2 ВР·РС cos(60°)-РС²+2 АР·РС cos(60°) 
Вынесем в правой части общий множитель 2РС·cos(60°) за скобки: 
АР²-ВР²=2РС·cos(60°)(-ВР+АР)
АР²-ВР²=2РС·1/2·(АР-ВР)
(АР-ВР)(АР+ВР)=РС·(АР-ВР)
Сократим обе части уравнения на (АР-ВР)
(АР+ВР)=РС, что и требовалось доказать.