Question

Найдите площадь треугольника, если известно, что радиус вписанной окружности равен 1, а длины всех трех высот выражаются целыми числами.

Answer 1

Из условия следует что треугольник правильный ! 
Доказательство : 
так как площадь треугольника можно выразить через высоты как 
 $S=\frac{ah}{2}\\ S=\frac{bh}{2}\\ S=\frac{ch}{2}$ 
где $a;b;c$ стороны  треугольника , с другой стороны 
$S=p*r\\ r=1\\ S=p$ следовательно 
$\frac{ah}{2}=\frac{a+b+c}{2}\\ \frac{bh}{2}=\frac{a+b+c}{2}\\ \frac{ch}{2}=\frac{a+b+c}{2}\\ a=b=c$
а площадь правильного треугольника равна  
$S=3\sqrt{3}r^2\\ S=3\sqrt{3}$

Answer 2

Площадь правильного треугольника рассчитывается по формулам:
т.к. r=1
S=3√3·r²=3√3,
 а все высоты выражаются ОДНИМ целым числом h= 3