Пусть высота ВК делит сторону AC на отрезки АК и КС причём АК = 10 см, КС = 4 см. Тогда рассмотрим треуг-к АВК (угол К = 90) Угол АВК = 90 - 45 = 45 град. Тогда треуг - к АВК равнобедренный ВК = АК = 10 см. АС = АК + КС = 10 + 4 = 14 см. Тогда площадь равна S = 0,5 * АС * ВК = 0,5 * 14 * 10 = 7 * 10 = 70 (см2)
Опустим из В перпендикуляр ВН на плоскость α. Пусть ВН=а Δ АВН прямоугольный. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°⇒ ∠АВН =90°-45°=45°. Два равных угла - свойство равнобедренного треугольника. ⇒ АН=ВН=а Проведем отрезок НС⊥АН до пересечения с прямой АС. Δ АНС прямоугольный, а т.к. ∠НАС=45°, то ∠НСА=45°⇒ Δ ВНС - равнобедренный. Соединим В и С В прямоугольных треугольниках АВН, СВН, АСН - катеты равны а. Следовательно, эти треугольники равны, из чего следует равенство их гипотенуз АВ=ВС=АС. Δ АВС - равносторонний, все углы равностороннего треугольника равны 60°⇒∠ВАС=60°, что и требовалось доказать.
По условию Δ равнобедренный. две его стороны обозначим а, угол между ними =180°-30° *2=120° SΔ=(1/2)*a*a*sin 120°, SΔ=(1/2)*a² *(√3/2) 64√3=(1/4)a²√3, a²=256, a=16 основание Δ обозначим с. рассмотрим прямоугольный Δ, образованный высотой треугольника, боковой стороной и половиной основания. cos 30°=(c/2)/a √3/2=(c/2)/16, √3/2=c/32, c=16√3 ответ: стороны треугольника 16 см, 16см, 16√3 см
рассмотрим прямоугольный Δ, образованный высотой треугольника h, боковой стороной а и половиной основания с/2. пусть h=х см, тогда а=2х см(катет против угла 30 в 2 раза меньше гипотенузы) по т. Пифагора: (2х)²=(с/2)²+х². 4х²=с²/4+х², с²/4=3х². с²=12х², с=2х√3 SΔ=(1/2)*c*h 64√3=(1/2)*2x√3*x 64√3=x² √3, x²=64, x=8, => h=8 см, а=2*8=16 см, с=2*8*√3=16√3 см ответ: 16,16 и 16√3
