Добрый день! Давайте рассмотрим данный вопрос пошагово, чтобы ответить на него максимально понятным образом.
Дано: Отрезки mr и nq пересекаются в точке p.
Пусть np = pq и ∠mnp = ∠rqp.
Нам нужно доказать, что mn = rq.
Для начала, давайте обратимся к теореме о равных треугольниках.
Теорема о равных треугольниках гласит: "Если в двух треугольниках соответственно равны стороны и равны углы между ними, то эти треугольники равны."
Используя эту теорему, рассмотрим треугольники MNP и RPQ.
Мы знаем, что np = pq, и это значит, что сторона NP равна стороне PQ.
Также мы знаем, что ∠mnp = ∠rqp, и это значит, что угол MNP равен углу RPQ.
Теперь воспользуемся теоремой об угле, образованном хордой и секущей. Она гласит, что "Угол, образованный хордой и секущей, равен полусумме обеих дуг, образованных хордой."
Применим эту теорему к нашей ситуации. Так как отрезки mr и nq пересекаются в точке p, то это означает, что оба отрезка могут быть представлены в виде дуг окружности. Угол ∠mnp будет равен полусумме дуг, образованных хордой NP и хордой PQ, а ∠rqp будет равен полусумме дуг, образованных хордой RP и хордой PQ.
Так как NP = PQ и ∠mnp = ∠rqp, то полусуммы дуг, образованные хордой NP и хордой PQ, равны полусуммам дуг, образованных хордами RP и хордой PQ.
Теперь давайте посмотрим на треугольники MNP и RPQ.
У нас есть две равности: NP = PQ и ∠mnp = ∠rqp. Углы между сторонами и стороны совпадают, поэтому по теореме о равных треугольниках эти треугольники равны.
Из равных треугольников мы можем сделать вывод, что стороны MN и RQ также равны, так как стороны против равных углов равны.
Таким образом, мы доказали, что если np = pq и ∠mnp = ∠rqp, то mn = rq.
Вот и весь подробный и обстоятельный ответ на данный вопрос.
∠MNP = ∠RQPпо условию,
∠MPN = ∠RPQ как вертикальные, ⇒
ΔMNP = ΔRQP по стороне и двум прилежащим к ней углам.