Рассмотрим треугольник АSВ. Это равнобедренный треугольник с боковыми сторонами AS=SB=2*(AB) и основанием АВ. АD - высота, проведенная к боковой стороне. Из прямоугольного треугольника АSD: AD²=AS²-SD² или AD²=AS²-(SB-DB)². Из прямоугольного треугольника АDB: AD²=AB²-DB². Тогда AS²-(SB-DB)²=AB²-DB². Учитывая, что AS=2AB, а SB=AS, имеем: 4(АВ)²-4(АВ)²+4АВ*DB-DB² = AB²-DB² или 4АВ*DB = AB². Отсюда DB=(1/4)*AB. Проведем прямую СD. Так как пирамида правильная, прямая СD будет также перпендикулярна ребру SB и, следовательно, плоскость АDC - перпендикулярна этому ребру, в силу чего MD - высота треугольника МSВ. МВ=(√3/2)*АВ, так как это высота правильного треугольника АВС. Тогда из прямоугольного треугольника МDB по Пифагору: MD=√(MB²-DB²) или MD=√(3AB²/4-AB²/16) = АВ√11/4. Отношение MD/BD=(АВ√11/4)/(AB/4)=√11. ответ: MD/BD=√11. P.S. MD можно найти и так: из прямоугольного треугольника ADB по Пифагору: AD²=AB²-DB²=(15/16)AB². Из прямоугольного треугольника ADM (так как плоскость SMB перпендикулярна прямой АС) по Пифагору: MD²=АD²-АМ²=(15/16)AB²-(1/4)АВ²=(11/16)АВ². MD=АВ√11/4.
Пусть даны отрезки МР и ОК. МР ∩ ОК = N. МN = NР, ОN = NК (см. рис.). Докажем, что MO II KP.
Проведем отрезки MO и KP.
ΔМNО = ΔКNP по двум сторонам и углу между ними (или по 1-му признаку равенства треугольников), т.к.:
1) ∠МNO = ∠РNК (как вертикальные).
2) MN = NP, ОN = NК (по условию).
Из равенства треугольников следует, что равны и все их элементы, т.е. ∠OMN = ∠NPK.
Т.к. эти углы являются накрест лежащими, то MO II KP (признак параллельности прямых).