С имеющихся сторон, найди косинус угла при большем основании. Опусти высоту, и найди нужную функцию
Теорема 1 (теорема Фалеса). Параллельные прямые высекают на пересекающих их прямых пропорциональные отрезки (рис. 1).
Определение 1. Два треугольника (рис. 2) называются подобными, если соответствующие стороны у них пропорциональны.
Теорема 2 (первый признак подобия). Если угол первого треугольника равен углу второго треугольника, а прилежащие к этим углам стороны треугольников пропорциональны, то такие треугольники подобны (см. рис. 2).
Теорема 3 (второй признак подобия). Если два угла одного треугольника равны соответственно двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны (рис. 3).
Теорема 4 (теорема Менелая). Если некоторая прямая пересекает стороны AB и BC треугольника ABC в точках X и Y соответственно, а продолжение стороны AC — в точке Z (рис. 4), то
Теорема 5. Пусть в остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и CC1 (рис. 5). Тогда треугольники A1BC1 и ABC подобны, причем коэффициент подобия равен cos ∠B.
Лемма 1. Если стороны AC и DF треугольников ABC и DEF лежат на одной прямой или на параллельных прямых (рис. 6), то
Лемма 2. Если два треугольника имеют общую сторону AC (рис. 7), то
Лемма 3. Если треугольники ABC и AB1C1 имеют общий угол A, то
Лемма 4. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.
Рассмотрим основание призмы - треугольник ABC, в нем AB=5, AC=3,угол BAC=120°, тогда за теоремой косинусов находим третью сторону треугольника
(BC)^2=(AB)^2+(AC)^2 - 2*AC*BC*cos(120°)
(BC)^2=25+9+15=49 => BC=7
Отсюда следует что сторона ВС в призме создает наибольшую площадь боковой грани, то есть
Sбок.гр=BC*H => H=35/7=5
Найдем площадь основания призмы
Sосн=AB*AC*sin(120°)/2 => Sосн=5*3*sqrt(3)/(2*2)=15sqrt(3)/4
Далее находим объем призмы
V=Sосн*H =15sqrt(3)/4 * 5=75sqrt(3)/4
Пусть имеем трапецию ABCD
AB=CD=17
AD=44
AC=39
Найдем площадь треугольника ACD, для чего используем формулу Герона
S=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)),
где p=(a+b+c)/2
В нашем случае
a=17
b=44
c=39
p=(17+44+39)/2= 50
тогда
S=sqrt(50*(50-17)*(50-44)*(50-39))=sqrt(50*33*6*11)=sqrt(108900)=330
C другой стороны, если с вершины трапеции С опустить на AD перпендикуляр CК, то площадь треугольника ACD равна AD*CK/2, то есть
S=AD*CK/2 =>330=44*CK/2 => CK=660/44 => CK=15
Из прямоугольного треугольника CDK по теореме Пифагора, имеем
(KD)^2=(CD)^2-(CK)^2 => (KD)^2=289-225 => (KD)^2=64 => KD=8
KD=AM=8
BC=AD-(AM+KD) = 44-(8+8)=28
Далее находим площадь трапеции
S=(AD+BC)*CK/2 = (44+28)*15/2=540