Найдите периметр прямоугольного треугольника, если даны: 1) гипотенуза с и острый угол а, 2) катет б и прилежащий к нему угол а, 3) катет а и противолежащий ему угол а
Cм. рисунок и обозначения в приложении По теореме косинусов (2√3)²=6²+х²-2·6·х·cos 30° 12=36+x²-6√3·x=0 x²- 6√3·x+24=0 D=108-96=12 x=(6√3-2√3)/2=2√3 или х=(6√3+2√3)/2=4√3
если х=2√3, то диагональ делит параллелограмм на два равнобедренных треугольника. Углы параллелограмма 60° и 120°
если х=4√3 то по теореме косинусов ( α - угол параллелограмма , лежащий против диагонали) 6²=(2√3)²+(4√3)²-2·2√3·4√3 ·cos α ⇒ 36=12+48-48·cosα⇒
cosα=0,5
α=60° второй угол параллелограмма 120° см. рисунок 2 ответ 120° и 60°
Задача решается двумя Графически и алгебраически. приложение №1): Через точку С проводим диаметр окружности. Обозначаем его СМ. Проводим отрезок АМ. В треугольнике АМС угол А прямой (МС диаметр вписанного прямоугольного треугольника). АВДМ - трапеция (АМ||ВД), углы АВМ и АДМ равны (опираются на одну хорду АМ). Трапеция АВДМ - равнобедренная, АВ=МД=3 см. Треугольник МСД прямоугольный. МД=3 см, ДС=4 см, МС=√(3³+4³)=5 см. Радиус 5/2=2,5 см.
приложение №2): Радиус описанной окружности вокруг четырехугольника, равен радиусу описанной окружности любого треугольника, образованного сторонами этого четырехугольника. Радиус описанной окружности - R=a/2sinα , где а - сторона треугольника, α - противолежащий угол. Рассматриваем треугольник НВС, где Н точка пресечения диагоналей. Прямоугольный, угол Н (по условию), угол В - β, угол С - (90-β). R=СД/2sinβ=2/sinβ; R=АВ/2sin(90-β)=3/2cosβ. Делим одно выражение на другое. 3/2cosβ * sinβ/2=3tgβ/4=1, tgβ=4/3 R=2/sin(atgβ)=2.499999=2.5 см.
найти: РΔ
решение. РΔ=a+b+c
пусть катет b прилежащий к углу α, катет а противолежащий углу α
sinα=a/c. a=c*sinα
cosα=b/c. b=c*cosα
PΔ=c*sinα+c*cosα+c
2. дано: прямоугольный Δ. угол α, b - катет прилежащий к углу α
найти: РΔ
решение. РΔ=a+b+c
cosα=b/c. c=b/cosα
tgα=a/b. a=b*tgα
PΔ=b*tgα+b+b/cosα
3. дано: прямоугольный Δ, угол α, катет а противолежащий углу α
найти РΔ
решение.
sinα=a/c. c=a/sinα
tgα=b/a. b=a*tgα
PΔ=a+a*tgα+a/sinα