Question

Найти площадь параллелограмма. если его наибольшая диагональ равна 5 см. а две его высоты, соответственно равны 3 см и 2 см

Answer 1

Обозначим стороны как $a;b$. И пусть $ab$ тогда большая высота опускается на меньшую сторону , меньшая на большую . Тогда площадь с одной стороны равна $S=3b$ , с другой стороны $S=2a$ .
Вспомним что угол между высотами проведенные с тупого угла равен острому углу параллелограмма.Учитывая это обозначим угол между высотами как $\alpha$ тогда острый угол равен $\alpha$ следовательно тупой $180- \alpha$ . Из прямоугольных треугольников которые образовались после проведения высота соответственно на стороны $a ;b$ равны  $a=\frac{3}{sina}\\ b=\frac{2}{sina}$ тогда площадь запишится как      
$S=\frac{6}{sin^2a}*sina=\frac{6}{sina}$ 
но и она же равна $S=\frac{2a^2}{3}*sina$ приравняем 
$\frac{6}{sina}=\frac{2a^2}{3}*sina\\ 18=2a^2*sin^2a\\ a*sina=3$  -3 нам не подходит потому что синус в $I;II$ четверти положителен  
Диагональ выразим по теореме косинусов   
$5^2=a^2+\frac{4a^2}{9}-2*a*\frac{2a}{3}*cos(180-a) \\ 5^2=a^2+\frac{4a^2}{9}+\frac{4a^2}{3}*cosa\\ cosa=\frac{25-a^2-\frac{4a^2}{9}}{\frac{4a^2}{3}}\\$
с первого равенство выразим синус через косинус затем подставим и решим уравнение перейдем в общем к такому 
$\sqrt{1-\frac{9}{a^2}}=\frac{225-13a^2}{12a^2}\\$ решая это уравнение получим 
$a=\frac{3\sqrt{253+48\sqrt{21}}}{5}\\ b=\frac{6\sqrt{253+48\sqrt{21}}}{15}\\ sina=\frac{3}{\frac{3\sqrt{253+48\sqrt{21}}}{5}}\\\\ S=\frac{3\sqrt{253+48\sqrt{21}}}{5}*\frac{6\sqrt{253+48\sqrt{21}}}{15}*\frac{3}{\frac{3\sqrt{253+48\sqrt{21}}}{5}}=\frac{6\sqrt{48\sqrt{21}+253}}{5}$
оно примерно равна  26