Достроим ее до полной пирамиды. Тогда высота H падает точно в центр правильного треугольника основания, то есть в точку О, которая делит высоту основания 1:2. Высота нижнего основания AK = AB*√3/2 = a√3/2, AO = 2/3*AK = a√3/3. Этот отрезок AO, высота DO = H и боковое ребро AD образуют прямоугольный треугольник с катетом AO = a√3/3 и углом α (альфа). tg α = DO / AO; DO = AO*tg α = a√3/3*tg α. Площадь нижнего основания S(ABC) = a^2*√3/4 Объем большой пирамиды V1 = 1/3*S(ABC)*DO = 1/3*a^2*√3/4*a√3/3*tg α = 1/12*a^3*tg α Высота отрезанного куска DO1 = A1O1*tg α = b√3/3*tg α Площадь верхнего основания S(A1B1C1) = b^2*√3/4 Объем отрезанного куска V2 = 1/3*S(A1B1C1)*DO1 = 1/12*b^3*tg α Объем усеченной пирамиды V = V1 - V2 = 1/12*tg α*(a^3 - b^3)
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, определяется по формуле: У треугольника, радиус которого в 2 раза больше, стороны тоже в 2 раза больше, что следует из вышеприведенной формулы: Подобие треугольников, на которые высота из прямого угла делит прямоугольный треугольник, вытекает из равенства взаимно перпендикулярных углов этих треугольников. Примем стороны треугольников, лежащих против прямых углов, равными х и 2х. Тогда гипотенуза заданного треугольника будет равна: Так как радиусы пропорциональны сторонам, то радиус заданного треугольника в раз больше радиуса, равного 2. ответ: радиус окружности, вписанной в данный треугольник, равен ≈ 4,472136.
раз больше радиуса, равного 2.
≈ 4,472136. 
