Пусть основание пирамиды треугольник АВС со сторонами 6*√3 и вершина S. В треугольнике АВС проведем высоту (она же медиана и биссектриса) АК. Очевидно, что АК=(6*√3)*(√3/2)=9 см. Опустим из вершины S перпендикуляр SO (высоту пирамиды) на основание. SO=3 см. Ясно, что точка О - центр треугольника АВС, т.е. точка пересечения его медиан. Значит ОD=9/3=3 см, а АО=6 см. Из прямоугольного треугольника ASO по теореме Пифагора SA=√(6^2+3^2)=3*√5.
Из рис.1 видим, что BD-биссектриса, значит ∠ADB=∠BDC. А ∠CBD=∠ADB как вертикальные. Поэтому углы BDC и CBD равны между собой. Значит треугольник BCD-равнобедренный, то есть BC=CD. Аналогично показываем, что АВ=ВС. Таким образом три стороны трапеции равны между собой.
Если за О обозначить точку пересечения диагоналей, то из рис.2 видим, что треугольники ВОС и DOA подобны (по трем углам). Причем коэффичиент подобия равен 5/13.
Обозначим за 5х - длинну основания ВС и 13х - длинну основания AD. Найдем, чему равняется KD. KD=(AD-BC)/2=(13x-5x)/2=4x.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике KCD: KD²+CK²=CD². CK - это высота трапеции, а CD=BC=5х. Тогда имеем: (4х)²+90²=(5х)² , 8100=9х², 900=х², х=30(см).
Значит ВС=5*30=150(см), а AD=13*30=390(см). Площадь трапеции равна S=h*(BC+AD)/2=90*(150+390)/2=90*270=24300(см²)
Можно получить синусы этих углов, поскольку известна гипотенуза - соответствующая сторона треугольника - и катет, лежащий против угла, перпендикулярный плоскости альфа. Для CA это будет sin=4/12=1/3. Для CB sin=8/16=1/2, то есть угол равен 30 градусов. Для AB надо сначала по теореме Пифагора вычислить гипотенузу: AB=20, затем, рассмотрев прямоугольную трапецию в плоскости, проведенной через AB и проекцию AB, увидеть катет, равный 4. Получается sin= 4/20=1/5. Площадь треугольника вычисляется по формуле (1/2)*16*12=96 кв. см.
В треугольнике АВС проведем высоту (она же медиана и биссектриса) АК. Очевидно, что АК=(6*√3)*(√3/2)=9 см. Опустим из вершины S перпендикуляр SO (высоту пирамиды) на основание. SO=3 см. Ясно, что точка О - центр треугольника АВС, т.е. точка пересечения его медиан. Значит ОD=9/3=3 см, а АО=6 см.
Из прямоугольного треугольника ASO по теореме Пифагора SA=√(6^2+3^2)=3*√5.