1)Здесь нужно отметить указанные точки в системе координат.Уже видно, что четырёхугольник-трапеция. Но это нужно доказать. 2) Находим угол между векторами MQ и NP. Он равен нулю. Значит MN и NP параллельны. 3)Находим угол между векторами MN и QP. Он не равен 0. Значит, MN и QP не параллельны. 4) из пунктов 2 и 3 делаем вывод, что данный четырёхугольник-трапеция по определению, т.к. две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Расчёты во вложении.
Построение: возьмем точку O на прямой, которая точно не лежит на перпендикуляре (это можно сделать на глаз без измерений), проведем окружность с центром в точке O и радиусом OP, где P – данная точка. Эта окружность пересекает прямую в двух точках A и B. Проведем окружности с центром с точке A и радиусом AP и с центром в точке B и радиусом AP. Последняя окружность пересекает первую в некоторой точке Q, прямая PQ – искомая.
Доказательство: Равнобедренные треугольники APO и BQO равны по трём сторонам, тогда отмеченные на чертеже углы равны. Пусть ∠A = α, тогда ∠AOP = ∠BOQ = 180° - 2α; ∠POQ = β = 180° - 2∠AOP = 4α - 180°. Отсюда ∠OPQ = (180° - β)/2 = 180° - 2α. Углы ∠AOP и ∠OPQ оказались равны, а так как это накрест лежащие углы при прямых AB и PQ и секущей PO, то AB || PQ, что и требовалось доказать.
Но это нужно доказать.
2) Находим угол между векторами MQ и NP. Он равен нулю. Значит MN и NP параллельны.
3)Находим угол между векторами MN и QP. Он не равен 0. Значит, MN и QP не параллельны.
4) из пунктов 2 и 3 делаем вывод, что данный четырёхугольник-трапеция по определению, т.к. две стороны параллельны, а две другие не параллельны.
Расчёты во вложении.