Если стороны BC = а (считаем эту сторону основанием), AC = b и AB = c, то периметр равен 2*p = (a + b +c);
Отрезок PQ = t = 2,4; точка Р на стороне b, Q на стороне c.
Точки касания вписанной окружности стороны ВС - точка M, стороны АС - точка К, стороны АВ - точка Е.
Точка касания вписанной окружности отрезком PQ - точка Т.
Если обозначить отрезки от вершин до точек касания ВЕ = ВМ = x, СК = СМ = y и АК = АЕ = z, то
a = x + y;
b = x + z;
c = y + z;
Периметр меньшего треугольника (который отсечен заданным отрезком касательной) равен 2*z, поскольку РК = РТ; и QE = QT.
Отсюда легко видеть, что ПОЛУпериметр отсеченного треугольника равен p - a; (по условию, р = 10)
Поскольку эти треугольники подобны (исходный и отсеченный отрезком касательной), то ПОЛУпериметры относятся так же как стороны, и
(p - a)/p = t/a;
(10 - a)/10 = 2,4/a;
это легко привести к виду
a^2 - 10*a + 24 = 0;
a = 4 или 6.
Получилось 2 решения. :(
1) Я долго сомневался, как лучше сделать, и все-таки решил не выводить здесь известные свойства внешних и внутренних касательных к двум окружностям. Просто перечислю то, что нужно знать для решения этой задачи. Найдите в учебниках или докажите сами.
LD = NP = KQ;
кроме того, равны и "кусочки" этих отрезков:
LN = LW = DZ = DQ; DK = DW = LZ = LP;
(некоторые, я в том числе, испытывают серьезные трудности восприятия этих равенств, когда впервые с ними сталкиваются, особенно с учетом того, как просто они получаются)
2) BZ = BF = BL + LZ = BL + DK; аналогично BT = BW = BL + DQ;
=> BL + DK + BL + DQ + CT + AF + AC = 2p; (как всегда, p - полупериметр ABC)
CT + AF = AC - QK;
=> 2*BL + QK + 2*AC - QK = 2p;
=> BL = p - AC = (AB + BC - AC)/2 = 2; это в точности равно радиусу вписанной в ABC окружности.
При вращении получается конус с высотой h = 15, образующей l = 17, радиусом r = 8.
Полная площадь поверхности круглого конуса равна сумме площадей боковой поверхности конуса и его основания = pi * r * (r + l) = pi * 8 * 25 = 200pi
ответ: 200 pi.