В треугольнике DAB A1D1 - средняя линия => A1D1 параллельна диагонали ромба BD, также в треугольнике ABC A1B1 - средняя линия параллельная диагонали ромба AC. т.к. диагонали ромба ⊥ то и прямая A1D1⊥A1B1 => A1B1C1D1 - прямоугольник, но так как в треугольнике A1B1C1 угол A1C1B1=45, то A1B1 = B1C1 => A1B1C1D1 - квадрат. а т.к. среднии линии равны A1B1 = B1C1, то и основания соответствующих треугольников тоже равны, т.е. AC = BD = > диагонали ромба равны, а диагонали ромба могут быть равны только если это квадрат. ч.т.д.
Вспомним свойство основания высоты пирамиды: Основание высоты пирамиды совпадает с центром вписанной окружности в основание пирамиды, если выполняется одно из следующих условий: 1) Все апофемы равны 2) Все боковые грани одинаково наклонены к основанию 3) Все апофемы одинаково наклонены к высоте пирамиды 4) Высота пирамиды одинаково наклонена ко всем боковым граням. И наоборот - если снование высоты пирамиды совпадает с центром вписанной в основание пирамиды окружности, то справедливы приведенные выше условия. В данной задаче основание высоты пирамиды совпадает с центром вписанной окружности. Следовательно, все апофемы равны. Подробное решение в приложении. ---------- [email protected]
Выразим заданныеточки через координаты А, В и С: К = ((Ах+Вх)/2; (Ау+Ву)/2) = (3; -2) Л = ((Ах+Сх)/2; (Ау+Су)/2) = (2; 5) М = ((Вх+Сх)/2; (Ву+Су)/2) = (-2; 1)
запишем систему 2-ух уравнений по х и по у: {(Вх+Сх+ Ах+Сх+ Ах+Вх+)/2 = 3 + 2 +(-2) =3 {(Ву+Су + Ау+Су +Ау+Ву)/2 = (-2)+5+1 =4
{Вх+Сх+Ах = 3 {Ву+Су+Ау = 4
возвращаемся к координатам точки М и видим: М = ((Вх+Сх)/2; (Ву+Су)/2) = (-2; 1) откуда находим Вх+Сх = -2*2 = -4 и Ву+Су = 1*2 = 2
подставляем в нашу систему {-4+Ах = 3 {2+Ау = 4 и находим Ах = 7; Ау = 2 А(7;2)
т.к. диагонали ромба ⊥ то и прямая A1D1⊥A1B1 => A1B1C1D1 - прямоугольник, но так как в треугольнике A1B1C1 угол A1C1B1=45, то A1B1 = B1C1 => A1B1C1D1 - квадрат. а т.к. среднии линии равны A1B1 = B1C1, то и основания соответствующих треугольников тоже равны, т.е. AC = BD = > диагонали ромба равны, а диагонали ромба могут быть равны только если это квадрат. ч.т.д.