Question

Докажите что сторона правильного двенвдцатиугольника вычисляется по формуле ​

Answer 1

Для начала, давайте разберемся, что такое правильный двенадцатиугольник. Правильный двенадцатиугольник - это многоугольник, у которого все стороны и все углы равны между собой.

Давайте обозначим сторону правильного двенадцатиугольника как "a" и найдем ее длину при помощи формулы.

Формула, которую мы будем использовать, основана на том, что в правильном двенадцатиугольнике есть взаимосвязь между диагональю и стороной.

Давайте нарисуем правильный двенадцатиугольник:

*
* *
* *
* *
* *
* *
* *
* *
* * * * * * * * * * * * * *

В этом двенадцатиугольнике, если мы проведем диагональ от одного вершины до другой, получим еще один треугольник:

* — вершина двенадцатиугольника
* * — вершины треугольника
* *
* *
* *
* *
* *
* *
* * * * * * * * * * * * * *

Теперь, давайте посмотрим на этот треугольник более внимательно:

*
* *
* *
* *
* *
* *
* *
* |И этот отрезок — сторона двенадцатиугольника
* * * * * * * * * * * * * *

Это равносторонний треугольник, потому что в нем все стороны равны. Давайте обозначим сторону этого треугольника как "b".

Возможно, у нас возникло затруднение в вычислении длины стороны двенадцатиугольника, но у нас есть информация о равностороннем треугольнике, и мы знаем его сторону "b".

Стоит отметить, что каждый угол равностороннего треугольника равен 60 градусам.

Теперь мы можем найти длину диагонали в равностороннем треугольнике. Эта диагональ будет служить нам для нахождения стороны двенадцатиугольника "a".

Для нахождения диагонали, мы можем использовать теорему Пифагора:

diagonal^2 = b^2 + (1/2 * b)^2

Это равенство раскрывается так:

diagonal^2 = b^2 + (b/2)^2

diagonal^2 = b^2 + (b^2)/4

diagonal^2 = (4b^2 + b^2)/4

diagonal^2 = (5b^2)/4

diagonal = sqrt((5b^2)/4)

Теперь, чтобы найти сторону двенадцатиугольника "a", мы можем использовать trigonometry (тригонометрию) и посчитать косинус угла в равностороннем треугольнике:

cos(60) = a/diagonal

Мы знаем, что cos(60) = 1/2, теперь мы можем записать это уравнение:

1/2 = a/diagonal

Теперь, подставим выражение для диагонали, которое мы получили ранее:

1/2 = a/sqrt((5b^2)/4)

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:

(1/2)^2 = (a/sqrt((5b^2)/4))^2

1/4 = (a^2)/((5b^2)/4)

1 = (a^2)/(5b^2)/4

4 = (a^2)/(5b^2)

Теперь умножим обе части уравнения на 5b^2:

4 * 5b^2 = a^2

20b^2 = a^2

a = sqrt(20b^2)

Итак, мы получили формулу для вычисления стороны правильного двенадцатиугольника:

a = sqrt(20b^2)

Теперь мы знаем, как вычислить сторону двенадцатиугольника "a", используя длину диагонали "b".