Дано, что центр окружности находится на оси Ox и проходит через точку (10,9).
Для начала, вспомним уравнение окружности:
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2,
где (a, b) - координаты центра окружности, r - радиус окружности.
1. Центр находится на оси Ox, значит его координата на оси Oy равна 0 (так как центр окружности лежит на оси Ox и Oy).
Таким образом, координаты центра (a, b) будут (a, 0).
2. Зная, что окружность проходит через точку (10,9), мы можем подставить координаты точки в уравнение окружности:
(10 - a)^2 + (9 - 0)^2 = r^2.
Квадрат разности координат точек на окружности (10 - a) и (9 - 0) равен квадрату радиуса окружности r^2.
3. Разложим полученное уравнение на множители, чтобы упростить его:
100 - 20a + a^2 + 81 = r^2.
Разложим первое слагаемое на множители: 100 = 10 * 10 = (10 - a)(10 - a).
Теперь уравнение выглядит следующим образом:
(10 - a)(10 - a) - 20a + a^2 + 81 = r^2.
Перенесем все на одну сторону уравнения:
a^2 - 20a + 100 - 20a + a^2 + 81 - r^2 = 0.
Сгруппируем слагаемые с a и a^2:
2a^2 - 40a + 181 - r^2 = 0.
Таким образом, уравнение окружности, проходящей через точку (10,9) и имеющей центр на оси Ox, будет выглядеть так:
2a^2 - 40a + 181 - r^2 = 0.
Это и есть искомое уравнение окружности, проходящей через точку (10,9) и имеющей центр на оси Ox.
Таким образом, вектор ~x = (-7/11, -57/11, -3/11).
3. Нам нужно найти вектор ~d длины 2√7, компланарный векторам ~a и ~b, ортогональный вектору ~c и направленный так, что тройка (~a, ~d, ~c) – левая.
Для начала найдем вектор orthogonal_to_plane, который лежит в плоскости, образованной векторами ~a и ~b, через вычисление их векторного произведения:
orthogonal_to_plane = ~a × ~b =
= (1*(-2) - 2*1, 2*(-1) - 6*0, 4*1 - (-1)*(-2)) =
= (-4, -2, 6).
Теперь найдем единичный вектор, ортогональный вектору ~c, деля вектор orthogonal_to_plane на его длину:
u = orthogonal_to_plane / ||orthogonal_to_plane|| =
= (-4/√56, -2/√56, 6/√56) =
= (-4/(2√14), -2/(2√14), 6/(2√14)) =
= (-2/√14, -1/√14, 3/√14).
Для получения вектора ~d, умножим e на 2√7:
~d = 2√7 * u =
= 2√7 * (-2/√14, -1/√14, 3/√14)) =
= (-4√7/√14, -2√7/√14, 6√7/√14) =
= (-2√2, -√2, 3√2).
Таким образом, вектор ~d = (-2√2, -√2, 3√2) имеет длину 2√7, компланарен векторам ~a и ~b, и ортогонален вектору ~c, при этом тройка (~a, ~d, ~c) – левая.
4. Нам нужно проверить, что векторы ~p, ~q, ~r образуют базис, и найти координаты вектора ~s в этом базисе.
Для того, чтобы проверить, что векторы ~p, ~q, ~r образуют базис, нужно убедиться, что они являются линейно независимыми и что вектор ~s представим в виде линейной комбинации векторов ~p, ~q, ~r.
Составим матрицу из векторов ~p, ~q, ~r, а затем преобразуем ее к ступенчатому виду:
1 2 -3 8,
1 1 1 2,
-2 0 2 -4.
1. Вычтем из второго уравнения первое:
1 2 -3 8,
0 -1 4 -6,
-2 0 2 -4.
2. Прибавим к третьему уравнению два первых:
1 2 -3 8,
0 -1 4 -6,
0 4 -4 0.
3. Умножим второе уравнение на (-1):
1 2 -3 8,
0 1 -4 6,
0 4 -4 0.
4. Вычтем из третьего уравнения четыре вторых:
1 2 -3 8,
0 1 -4 6,
0 0 0 -24.
Заметим, что третья строка матрицы состоит из нулей, то есть система уравнений имеет бесконечное количество решений. Из этого следует, что векторы ~p, ~q, ~r линейно зависимы, и не образуют базис.
Теперь найдем координаты вектора ~s в базисе.
Для этого рассмотрим расширенную матрицу, состоящую из матрицы ~p, ~q, ~r и столбца, состоящего из координат вектора ~s:
1 2 -3 8 | 8,
1 1 1 2 | 2,
-2 0 2 -4 | -4.
Приведем ее к ступенчатому виду:
1 2 -3 8 | 8,
0 -1 4 -6 | -6,
0 0 0 -24 | -24.
Из последнего уравнения следует, что -24z = -24, откуда z = 1.
Второе уравнение можно записать как -y + 4z = -6. Подставляя значение z = 1, получим -y + 4 = -6, откуда y = 10.
Первое уравнение можно записать как x + 2y - 3z = 8. Подставляя значения y = 10 и z = 1, получим x + 20 - 3 = 8, откуда x = -15.
Таким образом, координаты вектора ~s в базисе ~p, ~q, ~r равны (-15, 10, 1).
