Дано:
ABCD - параллелограмм
A(4; 1) , B(1 ; -2) , C(-2 ;1).
а) D(x; y) -?
б) док -ать ABCD -ромб -?
а)
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Поэтому :
x(O) =(x(D) +x(B) /2 = (x(A) +x(C) /2 ⇒
x(D) = x(A) +x(C) - x(B) =4+(-2) -1 =1;
y(O) =(y(D) +y(B) /2 = (y(A) +y(C) /2 ⇒
y(D) = y(A)+y(C) -y(B) =1+1 -(-2) =4.
D(1 ; 4) .
б)
AB² =(x(B) -x(A) )² +( (y(B) -y(A) )² =(1 - 4)² + (-2 -1) =3² +3² =18 ;
AD² =(x(D) -x(A) )² +( (y(D) -y(A) )² =(1 - 4)² + (4 -1) =3² +3² =18 .
Следовательно : AB =AD.Таким образом все стороны параллелограмма равны ,т.е. ABCD является ромбом .
DC =AB=AD =BC
ВС = 8√5; АС = 4√5; S = 80; Р = 20+12√5 ≈ 46,83
Объяснение:
1) Так как треугольник АВС прямоугольный, и СD является средней пропорциональной величиной между отрезками гипотенузы, на которые основание CD делит гипотенузу (4 : 8 = 8 : 16), то это значит, что CD ⊥ AB и
АВ : АС = АС : AD,
откуда АС = √(АВ·AD) = √20·4 = √80 = 4√5
АВ : ВС = ВС : DB,
откуда
ВС = √(АВ·DB) = √(20·16) = √320 = 8√5
2) S = (4√5 · 8√5) : 2 = 32 · 5 : 2 = 80
3) P = 20 + 4√5 + 8√5 = 20+12√5 ≈ 20 + 12·2,236 ≈ 46,83
ответ: ВС = 8√5; АС = 4√5; S = 80; Р = 20+12√5 ≈ 46,83
Cначала чисто по векторам - СВ+DC-DA = CB-CD-DA (так как CD=-DC) =
CB-(CD+DA) =CB-CA = AB.
В равностороннем треугольнике по формуле АВ=2h/√3. h=√3 - дано.
АВ=2. Значит длина (модуль) вектора
СВ+DC-DA =AB = 2.
Второй вариант:
Попробуем через координаты.
Привяжем систему координат к вершине А. Учитывая, что высоты треугольника равны, они являются и биссектрисами и медианами, а углы равностороннего треугольника равны по 60°, а также зная, что Sin30=1/2, Cos30=√3/2, Sin60=√3/2, Cos60=1/2, находим координаты наших точек.
А(0;0),В(1;√3), С(2;0) и D(3/2;√3/2).
Вектор СВ{-1;√3}.
Вектор DС{2-3/2;0-√3/2}={1/2;-√3/2}.
Вектор DA{-3/2;-√3/2}.
Формулы:
Сложение векторов : a+b=(x1+x2;y1+y2)
Разность векторов : a-b=(x1-x2;y1-y2) В нашем случае:
(СВ+DC) = {-1/2;√3/2).
(CB+DC-DA) = {2/2;√3). Модуль |CB+DC-DA|=√(1+3)=2.
ответ: |CB+DC-DA|=2.