Question

Вромб со стороной aи острым углом lвписана окружность. найдите радиус второй окружности, вписанной в острый угол ромба и касающейся первой окружности.

Answer 1

Решение: Пусть АBCD – данный ромб, угол А=угол С=L.

Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла между сторонами

S=AB^2 *sin A

S=a^2* sin L

Полупериметр робма равен полусумме сторон ромба

p=4*a\2=2*a

Площадь ромба равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности

S=p*r

Откуда

r=S\p= a^2* sin L \ (2*a)=a\2* sin L

Пусть  X, Y – точки касания вписанной в ромб  окружности со сторонами AB и AD соответсвенно , пусть H – точка пересечения, прямой FG, перпендикулярной к  диагонали АС, вторая окружность касается сторон  AB и AD  и соприкасается с первой окружностью в точке H, значит вторая окружность – окружность вписанная в треугольник AFG.

Угол B=угол D=180 – угол А=180-L

Диагональ АС ромба равна по теореме косинусов

AC^2=AB^2+BC^2-2*AB*BC*cos B=

=a^2+a^2-2*a*a*cos (180-L)=2*a^2* (1+cos L)

AC=корень(2*a^2* (1+cos L))=2*а*|cos L\2|=2*a*cos (L\2)

(воспользовались формулой понижения квадрата косинуса)

Пусть О – центр вписанной в ромб окружности

Диагонали ромба пересекаються и в точке пересечения делятся пополам, причем точка пересечения является центром вписанной в ромб окружности(свойство ромба)

Значит АО=1\2*АС=1\2*2*a*cos (L\2)= a*cos (L\2)

Далее AH=AO-OH= a*cos (L\2) -a\2* sin L=a*cos (L\2)*(1-sin(L\2))

AF=AH\cos (A\2)= a*cos (L\2)*(1-sin(L\2)) \cos (L\2)=

= a*(1-sin(L\2))

FH=AH*tg (A\2)= a*cos (L\2)*(1-sin(L\2))*tg (L\2)= a*sin (L\2)*(1-sin(L\2))

FG=2*FH=2* a*sin (L\2)*(1-sin(L\2))

Треугольники AFH и AGH равны как прямоугольные за катетом и острым углом(угол FAH=угол GAH – диагональ ромба есть его биссектриссой – свойство ромба, AH=AH,

Прямая FG касательная к первой окружности, значит перпендикулярная к АС, отсюда углы FHA и GHA  прямые).

Из равенства треугольников получаем AF=AG

Площадь треугольника равна произведению половины основания на висоту

Площадь треугольника AFH :

S (AFG)=FH*AH= a*sin (L\2)*(1-sin(L\2))* a*cos (L\2)*(1-sin(L\2))=

1\2*a^2  *sin L *(1-sin(L\2))*^2

Полупериметр треугольника равен

p (AFG)= (AF+FG+AG)\2=( a*(1-sin(L\2))+ a*(1-sin(L\2))+ 2* a*sin (L\2)*(1-sin(L\2)))\2=

a*(1-sin(L\2))+ a*sin (L\2)*(1-sin(L\2))= a*(1-sin(L\2))*(1+sin(L\2))=

a*(1-sin^2 (L\2))=a*cos^2 (L\2)

Радиус вписанной окружности в треугольник равен площадь\полуперимтер,

Радиус равен  1\2*a^2  *sin L *(1-sin(L\2))*^2 \( a*cos^2 (L\2))=

=a*tg (L\2)*(1-sin(L\2))^2

ответ:  a*tg (L\2)*(1-sin(L\2))^2