Найдите стороны и углы параллелограмма, если его периметр равен 40 см, а высота параллелограмма и биссектриса его угла, проведенные из одной вершины, делят сторону параллелограмма на три равных отрезка. p.s. напишите решение, а не просто ответ : )
Углы АКВ и СВК равны как накрест лежащие при пересечении двух параллельных прямых АЕ и ВС секущей ВК. Но по условию <ABK=<CBK, т.к. ВК - биссектриса, значит <AKB=<ABK В треугольнике АВК высота ВК является также и медианой, треугольник АВК - равнобедренный, и <BAK=<AKB. Выше было доказано, что <AKB=<ABK, получаем, что треугольник АВК - равносторонний, и все его углы равны по 60°. Пусть равные отрезки АН, НК и КЕ будут х. Тогда в треугольнике АВК: АК=АВ=2х Таким образом, стороны параллелограмма равны: АВ=2х, АЕ=3х Зная периметр параллелограмма, запишем: (2х+3х)*2=40 4х+6х=40 10х=40 х=4 АВ=2*4=8 см АЕ=3*4=12 см В равностороннем треугольнике <BAK=60°. Противоположные углы параллелограмма равны, значит <C=60° также. Находим углы В и Е параллелограмма АВСЕ: <B=<E=(360-2*60):2=120°
Проводим высоты из углов меньшего основания к большему, получаем 2 одинаковых прямоугольных треугольника и прямоугольник. От большего основания отнимаем меньшее и делим на два, получаем один из катетов этого прямоугольного треугольника, а гипотенуза у нас есть из дано (это боковая сторона трапеции). По известным катету и гипотенузе находим один угол, тот что на большем основании трапеции (второй угол к нижнему основанию трапеции такой же). Теперь находим угол при меньшем основании: от 180 отнимаем нижний угол. Готово.
Основание пирамиды - правильный шестиугольник. По его свойствам радиус описанной вокруг него окружности равен его стороне. AD=2R=2AB (диаметр). Треугольник АFD прямоугольный с <F=90°, так как он опирается на диаметр описанной около правильного шестиугольника (основание пирамиды) окружности. AF=2√3(дано) AD=4√3. По Пифагору DF=√(AD²-AF²)=√[(4√3)²-(2√3)²]=√(48-12)=6. По Герону площадь треугольника FSD равна S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]. р - полупериметр. В нашем случае полупериметр равен (FS+DS+FD)/2 или р=(2√39+6)/2 =√39+3. Тогда площадь треугольника FSD равна S=√[(√39+3)*3*3*(√39-3)] или S=√[(√39²-3²)=√30. Эта же площадь равна (1/2)*DH*FS, где DH - высота, проведенная к стороне SF (искомое расстояние от D до плоскости FAS). Тогда DH=2S/SF=2√30/√39=2√10/√13.
В треугольнике АВК высота ВК является также и медианой, треугольник АВК - равнобедренный, и <BAK=<AKB. Выше было доказано, что <AKB=<ABK, получаем, что треугольник АВК - равносторонний, и все его углы равны по 60°.
Пусть равные отрезки АН, НК и КЕ будут х. Тогда в треугольнике АВК:
АК=АВ=2х
Таким образом, стороны параллелограмма равны:
АВ=2х, АЕ=3х
Зная периметр параллелограмма, запишем:
(2х+3х)*2=40
4х+6х=40
10х=40
х=4
АВ=2*4=8 см АЕ=3*4=12 см
В равностороннем треугольнике <BAK=60°. Противоположные углы параллелограмма равны, значит <C=60° также. Находим углы В и Е параллелограмма АВСЕ:
<B=<E=(360-2*60):2=120°