Если трапеция вписана, то сумма её противоположных углов равна 180 градусов. Если в трапецию вписана окружность, значит сумма её противоположных сторон, равна сумме двух других противоположных сторон данной трапеции. Действительно углы вписанного четырёхугольника в сумме будут давать 180 градусов, так как если начертить рисунок можно увидеть, что два противолежащих углы данного четырёхугольника будут опираться на две дуги, которые в сумме дают 360 градусов. А вписанные углы равны половине дуги, на которую опираются, следовательно 360/2=180, ч.т.д
Пусть ABC' — произвольный треугольник. Проведем через вершину B прямую, параллельную прямой AC. Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны прямой BC.Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей BC с параллельными прямыми AC и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и С равна углу ABD.Сумма всех трех углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD при секущей AB, то их сумма равна 180°. Теорема доказана.
Вписанный угол, который опирается на диаметр, равен 90 градусов. Углы К и F следовательно равны 90 градусов. Треугольники MKN и MFN - прямоугольные. Они равны по общей гипотенузе и катету KN = FN. А в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Против стороны FN лежит угол FMN, а против стороны KN лежит угол KMN. Стороны равны, значит равны и углы. Но, если 2 угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то и третьи углы у них равны. Значит, угол MNF равен углу MNK.
Если в трапецию вписана окружность, значит сумма её противоположных сторон, равна сумме двух других противоположных сторон данной трапеции.
Действительно углы вписанного четырёхугольника в сумме будут давать 180 градусов, так как если начертить рисунок можно увидеть, что два противолежащих углы данного четырёхугольника будут опираться на две дуги, которые в сумме дают 360 градусов. А вписанные углы равны половине дуги, на которую опираются, следовательно 360/2=180, ч.т.д