Question

Вокружности с радиусом= корень из 6ти проведена хорда mn и диаметр mp. в точке n проведена касательная к окружности,которая пересекает продолжение отрезка mp в точке q под углом 60градусов. найти медиану qd в треугольнике mqn.

Answer 1

Пусть O — центр окружности. Предположим, что точка Q лежит на продолжении диаметра MP за точку P. Из прямоугольного треугольника ONQ находим, что 
QN = ON· ctg60 =$\sqrt{6}$ ·$\sqrt{3} /3$ = $\sqrt{2}$, OQ=2NQ =2. 
Тогда QM=MO+OQ=$\sqrt{6}$+2$\sqrt{2}$. По теореме о внешнем угле треугольника 
 MON =90+60 =150 градусов
По теореме косинусов из равнобедренного треугольника MON находим, что 
MN2= OM2+ON2-2OM· ON cos150=6+6+2·6· $\sqrt{3} /2$=12+6$\sqrt{3}$. 
По формуле для медианы треугольника 
QD2=1/4 (2QN2+2QM2-MN2)= 1/4(2·2+2($\sqrt{6}$+2$\sqrt{2}$)2-12-6$\sqrt{3}$)=1/4(20+10$\sqrt{3}$). 
Следовательно, 
QD = 1/2 $\sqrt{20+10 \sqrt{3} }$=$\sqrt{5+5 \sqrt{3}/2 }$