Четырёхугольник ABCD вписан в окружность.
∠В : ∠D = 1 : 5
∠A < в 2 раза ∠С.
Найти:∠А - ? ; ∠В - ? ; ∠С - ? ; ∠D - ? .
Решение:Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.
Около четырёхугольника ABCD описана окружность, по условию ⇒ ∠B + ∠D = 180˚; ∠A + ∠C = 180°.
Найдём ∠B и ∠D:
Пусть х - ∠В, тогда 5х - ∠D. (∠B : ∠D = 1 : 5, по условию)
Как я написала ранее, ∠B + ∠D = 180˚, по свойству.
х + 5х = 180
6х = 180
х = 30
30° - ∠B.
⇒ ∠D = 30˚ * 5 = 150˚.
Найдём ∠А и ∠С:
Пусть х - ∠А, тогда 2х - ∠С.
Как я написала ранее, ∠А + ∠С = 180°, по свойству.
х + 2х = 180
3х = 180
х = 60
60° - ∠А.
⇒ ∠С = 60° * 2 = 120°
ответ: 30°; 150°; 60°; 120°.
Поскольку прямой угол не указан, задача может иметь два варианта решения.
1)
Угол С=90°
Тогда т.D принадлежит катету АС, так как лежать на АВ не может - не получится угла АDВ=120°
Угол АDВ внешний для ∆ СDВ и равен сумме, не смежных с ним
∠DСВ и ∠DВС (свойство внешнего угла).
В прямоугольном ∆ ВDС угол DВС= 120°-90°=30°
Тогда ВС=DC:tg30•=6√3
∆ АВD - равнобедренный. Его острые углы (180°-120°):2=30°
BC противолежит углу А=30°, поэтому АВ=2•ВС=12√3
2)
Угол А=90°
Тогда в равнобедренном ∆ ВDА острые углы равны 30°. ⇒
угол С=60°
АВ=АС•tg60°=6√3
3)
Угол В=90° Решение аналогично предыдущему и АВ=6√3
АС, АД, СВ - имеют общие точки,, пересекаются с АВ и потому пересекающиеся, но не скрещивающиеся. .