Треугольник вписан в окружность так,что одна из его сторон проходит через центр окружности,а две другие удалены от него на 3 см и 3 √3 см. найдите радиус окружности.
Отрезки 3 см и 3 √3 см "вырежут" из прямоугольного треугольника прямоугольник... и получатся еще два прямоугольных треугольника с гипотенузами = радиусу... обозначим их неизвестные катеты (х) и (у)... можно заметить, что все получившиеся прямоугольные треугольники подобны))) х / (х+3√3) = r / (2r) -- т.е. коэффициент подобия = (1/2) 2х = х+3√3 х = 3√3 аналогично у = 3 т.е. катеты данного треугольника: 3*2 = 6 и (3√3)*2 = 6√3 по т.Пифагора 6^2 + (6√3)^2 = (2r)^2 36 + 108 = 4r^2 r^2 = 144 r = 12
1) Для начала построим данное сечение: Для построения сечения требуется построить точки пересечения секущей плоскости с рёбрами и соединить их отрезками: а) Можно соединять только две точки, лежащие в плоскости одной грани. Точки В и С лежат в одной плоскости, значит, соединяем эти точки и получаем отрезок ВС, но ВС уже построен в ходе построения прямой призмы. Точки В и К лежат в одной плоскости → получаем отрезок ВК б) Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам. Грани ВВ1С1С и АА1D1D параллельны В противном случае эти грани пересекались бы, что противоречит условию: ВС || AD , B1C1 || A1D1 ( по свойству трапеции АВСD и A1B1C1D1 ) Через точку К проводим прямую, паралельную прямой ВС → получаем точку L. Но также ВС || KL, BC || AD → AD || KL || A1D1 ( AD = KL = A1D1 = 4 см ) и АК = КА1. Значит, DL = LD1 ( AK = KA1 = DL = LD1 ) Точки C и L лежат в одной плоскости → получаем отрезок CL
Из этого следует, что четырёхугольник BCLK – данное по условию сечение.
АВСD – равнобедренная трапеция → АВ = CD Боковые рёбра прямой призмы равны: АА1 = ВВ1 = СС1 = DD1 Значит, прямоугольники АВВ1А1 и CDD1C1 равны. Соответственно равны и отрезки ВК и CL. Следовательно, сечение BCLK – равнобедренная трапеция ( ВС || КL, BK = CL )
2) В трапеции АВСD опустим высоту АМ на ВС. По свойству прямой призмы КА перпендикулярен плоскости АВС, в которой лежит проекция АМ наклонной КМ. Значит, по теореме о трёх перпендикулярах КМ перпендикулярен ВС. Из этого следует, что угол АМК – линейный угол двугранного угла АВСК, то есть угол АМК = 60°.
3) Площадь трапеции BCLK равна: S bclk = 1/2 × ( KL + BC ) × KM 48 = 1/2 × ( 4 + 8 ) × КМ 48 = 6 × КМ КМ = 8 см
Рассмотрим ∆ АМК (угол КАМ = 90°): cos AMK = AM/KM AM= KM × cos AMK = 8 × cos60° = 8 × 1/2 = 4 см По теореме Пифагора: КМ² = АМ² + АК² АК² = 8² – 4² = 64 – 16 = 48 АК = 4√3 см АА1 = 2 × AK = 2 × 4√3 = 8√3 см
Обьём прямой призмы рассчитывается по формуле: V ( призмы ) = S осн. × h
V ( призмы ) = S abcd × AA1 = 1/2 × ( AD + BC ) × AM × AA1 = 1/2 × 12 × 4 × 8√3 = 192√3 см²
1) Для начала построим данное сечение: Для построения сечения требуется построить точки пересечения секущей плоскости с рёбрами и соединить их отрезками: а) Можно соединять только две точки, лежащие в плоскости одной грани. Точки В и С лежат в одной плоскости, значит, соединяем эти точки и получаем отрезок ВС, но ВС уже построен в ходе построения прямой призмы. Точки В и К лежат в одной плоскости → получаем отрезок ВК б) Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам. Грани ВВ1С1С и АА1D1D параллельны В противном случае эти грани пересекались бы, что противоречит условию: ВС || AD , B1C1 || A1D1 ( по свойству трапеции АВСD и A1B1C1D1 ) Через точку К проводим прямую, паралельную прямой ВС → получаем точку L. Но также ВС || KL, BC || AD → AD || KL || A1D1 ( AD = KL = A1D1 = 4 см ) и АК = КА1. Значит, DL = LD1 ( AK = KA1 = DL = LD1 ) Точки C и L лежат в одной плоскости → получаем отрезок CL
Из этого следует, что четырёхугольник BCLK – данное по условию сечение.
АВСD – равнобедренная трапеция → АВ = CD Боковые рёбра прямой призмы равны: АА1 = ВВ1 = СС1 = DD1 Значит, прямоугольники АВВ1А1 и CDD1C1 равны. Соответственно равны и отрезки ВК и CL. Следовательно, сечение BCLK – равнобедренная трапеция ( ВС || КL, BK = CL )
2) В трапеции АВСD опустим высоту АМ на ВС. По свойству прямой призмы КА перпендикулярен плоскости АВС, в которой лежит проекция АМ наклонной КМ. Значит, по теореме о трёх перпендикулярах КМ перпендикулярен ВС. Из этого следует, что угол АМК – линейный угол двугранного угла АВСК, то есть угол АМК = 60°.
3) Площадь трапеции BCLK равна: S bclk = 1/2 × ( KL + BC ) × KM 48 = 1/2 × ( 4 + 8 ) × КМ 48 = 6 × КМ КМ = 8 см
Рассмотрим ∆ АМК (угол КАМ = 90°): cos AMK = AM/KM AM= KM × cos AMK = 8 × cos60° = 8 × 1/2 = 4 см По теореме Пифагора: КМ² = АМ² + АК² АК² = 8² – 4² = 64 – 16 = 48 АК = 4√3 см АА1 = 2 × AK = 2 × 4√3 = 8√3 см
Обьём прямой призмы рассчитывается по формуле: V ( призмы ) = S осн. × h
V ( призмы ) = S abcd × AA1 = 1/2 × ( AD + BC ) × AM × AA1 = 1/2 × 12 × 4 × 8√3 = 192√3 см²
прямоугольник...
и получатся еще два прямоугольных треугольника с гипотенузами = радиусу...
обозначим их неизвестные катеты (х) и (у)...
можно заметить, что все получившиеся прямоугольные треугольники подобны)))
х / (х+3√3) = r / (2r) -- т.е. коэффициент подобия = (1/2)
2х = х+3√3
х = 3√3
аналогично у = 3
т.е. катеты данного треугольника: 3*2 = 6 и (3√3)*2 = 6√3
по т.Пифагора
6^2 + (6√3)^2 = (2r)^2
36 + 108 = 4r^2
r^2 = 144
r = 12