Нехай одна сторона трикутника дорівнює Х. Тоді друга сторона дорівнює 8 - Х Згідно з теоремою косинусів
7² = 49 = Х² + (8 - Х)² - 2 * Х * (8 - Х) * cos 120° = X² + (8 - X)² + X * (8 - X) =
X² + 64 - 16 * X + X² + 8 * X - X² = X² - 8 * X + 64
Тоді Х² - 8 * Х + 15 = 0
Х₁ = 3 Х₂ = 5
Отже сторони трикутника 3, 5 та 7 см, його площа
S = ½ * 3 * 5 * sin 120° = 7,5 * √ 3 / 2 = 15 * √ 3 / 4 см²
Радіус вписаного кола
r = 2 * S / (a + b + c) = 2 * (15 * √ 3 / 4) / (3 + 5 + 7) = √ 3 / 2 см.
пусть даны точки А и В. Возьмем третьею точку С отличную от А и В.
Через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.
проведем плоскость АВС
Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
Возьмем точку D не принадлежщаю плоскости АВС (таковая существует за аксиомой выше)
проведем плоскость АВD.
Єти плоскости разные так как точка D не принадлежит плоскости АВС.
и данные точки А и В принадлежат одновременно и плоскости АВС и ABD.
Таким образом существование искомых плоскостей доказано
следовательно, треугольник АВС равнобедренный и сторона АС=СВ=8
по теореме Пифагора найдём гипотенузу АВ:
8^2+8^2=АВ^2
АВ= 8 корней из 2
Т.к. в равнобедренном треугольнике высота равня биссектриссе и медиане, АD=DB, угол ACD=DCB=45°
рассмотрим треугольник ACD:
угол CAD=DCA=45°, следовательно, этот треугольник равнобедренный и прямоугольный.
по телреме Пифагора найдём CD:
8^2=( (8корней из2):2 )^2 +CD
отсюда CD=4корней из 2.