А). Цитата: "Существование и единственность вневписанной окружности обусловлены тем, что биссектрисы двух внешних углов треугольника и биссектриса внутреннего угла, не смежного с этими двумя, пересекаются в одной точке, которая и является центром такой окружности". В треугольнике АВС <ABC+<BCA=180°-<A. <ABC=180°-<CBP, <BCA=180°-BCK - как пары соответственно смежных углов. Окружность (Q;R) - вневписанная окружность треугольника АВС по определению (из условия). Следовательно, BQ и СQ - биссектрисы углов <CBP и <BCK соответственно. Тогда <BQC=180°-(1/2)*(CBP+BCK)=180°-(1/2)*(360°-<ABC-<BCA). Или <BQC=(1/2)*(<ABC+<BCA). Но <BQC - вписанный угол, опирающийся на дугу ВС, а <BOC- центральный угол, опирающийся на ту же дугу. <BOC=2*<BQC = <ABC+<BCA = 180°-<A. Тогда в четырехугольнике АВОС сумма противоположных углов <А+<BOC=<A+180°-<A = 180°. Значит около этого четырехугольника можно описать окружность и при том только одну. Следовательно, окружности, описанные около треугольника АВС и четырехугольника АВОС - одна и та же окружность и точка О лежит на этой окружности, что и требовалось доказать.
б). Пусть R/r=4/3. r=(3/4)*R. <А+<BOC= 180° (доказано выше). CosA = -Cos(180-A) = -Cos(BOC). ВС - общая хорда пересекающихся окружностей. По теореме косинусов из треугольника ОВС: BC²=2R² - 2R²Cos(BOC)=2R²+ 2R²CosA=2R²(1+CosA) . (1) Bз треугольника AВС: <BJC - центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и <BAC. <BJC=2<A. BC²=2r² - 2r²Cos(BJC)=2r²(1-Cos2A) . (2) Приравняем (1) и (2): 2R²(1+CosA)=2r²(1-Cos2A) или 2R²(1+CosA)=2(9/16)R²(1-Cos2A) или (1+CosA)=(9/16)(1-Cos2A). По формуле приведения Cos2A= 2Cos²A-1, тогда 1+CosA=(9/16)(1-2Cos²A+1) => 1+CosA=(9/8)(1-Cos²A). Пусть CosA= Х, тогда: 8+8Х=9-9Х² или 9Х²+8Х-1=0 Х1=(-4+√(16+9))/9 = 1/9. Х2=-1 - не удовлетворяет условию, так как <A > 0. ответ: CosA=1/9.
Треугольник MNK, MN=NK=корень из 3, угол N=120 гр., NP-высота Решение: Т.к. в равнобедренном треугольнике высота является также биссектрисой и медианой, значит MP=PK, угол MNP=углу PNK=60гр. Рассмотрим прямоугольный треугольник MNP. Т.к. угол P=90 гр, угол N=60 гр, значит угол М=30 гр. Следовательно, NP=1/2 MN=(корень из 3)/2 (катет против угла 30 гр. равен половине гипотенузы) По теореме Пифагора: MP= корень из (MN^2-NP^2)=1,5 см Значит МК=2*1,5=3 см Периметр треугольника MNK=3+корень из "3"+корень из "3"=3+2 корня из "3"
Решение
треун.ABC - равнобедренный
AB=BC
Ac= 6 см
периметр АВС = 16 см, найдём АВ и ВС, 16=6+АВ+ВС
АВ=ВС=5 см
Проведём высоту ВН, она также явл медианой, значит АН=НС=3 см
треуг. ВНС прямоуг, по теореме пифагора найдём ВН
ВС(квадрат)=ВН(квадрат) + НС(квадрат)
25=ВН(квадрат) + 9 см
ВН=4 см
Теперь найдём площадь, 1\2 ВН * АС
2*6=12 см кв.
ответ: 12 см кв.