Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольника равны. Доказательство Возьмём треугольники ABC и A1B1C1, у которых AB=A1B1, BC=B1C1, CA-C1A1. Докажем, что треугольник ABC равен треугольнику A1B1C1. Приложим треугольник АВС к треугольнику А1В1С1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А1, вершина В - с вершиной В1, а вершины С и С1 оказались по разные стороны от прямой А1В1. Так как по условию теоремы стороны АС и А1С1, ВС и В1С1 равны, то треугольники A1C1C и В1С1С - равнобедренные. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника Угол 1 равен углу 2, угол 3 равен углу 4, поэтому Угол А1СВ1 равен углу А1С1В1. Итак, АС = А1С1, BC=B1C1, Угол C=УглуC1. Следовательно, треугольники ABC и A1B1C1 равны по первому признаку равенства треугольников. Теорема доказана.
1) Это прямая, перпендикулярная данной плоскости, и проходящая через данную точку. 2)Множество точек, удаленных на расстояние а от точки М - это окружность с центром в т. М и радиусом равным а. А множество точек, удаленных на расстояние b от точки Р - это окружность с центром в т. Р и радиусом равным b
Возможно три случая:
1) Если расстояние между точками М и Р меньше, чем сумма а + b, то окружности пересекутся в двух точках (два решения) . 2) Если расстояние между точками М и Р равно сумме а + b, то окружности будут касаться и иметь единственную общую точку. 3) Если расстояние между точками М и Р больше, чем сумма а + b, то окружности не пересекутся (решений нет) .
ОТВЕТ: если MP< а + b, то таких точек две, если MP = а + b, то точка одна, если MP > а + b, то задача не имеет решения.
Доказательство
Возьмём треугольники ABC и A1B1C1, у которых AB=A1B1, BC=B1C1, CA-C1A1. Докажем, что треугольник ABC равен треугольнику A1B1C1. Приложим треугольник АВС к треугольнику А1В1С1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А1, вершина В - с вершиной В1, а вершины С и С1 оказались по разные стороны от прямой А1В1.
Так как по условию теоремы стороны АС и А1С1, ВС и В1С1 равны, то треугольники A1C1C и В1С1С - равнобедренные. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника Угол 1 равен углу 2, угол 3 равен углу 4, поэтому Угол А1СВ1 равен углу А1С1В1. Итак, АС = А1С1, BC=B1C1, Угол C=УглуC1.
Следовательно, треугольники ABC и A1B1C1 равны по первому признаку равенства треугольников. Теорема доказана.