Треугольник АВМ = треугольнику ВМС (по трём сторонам: АВ=ВС - по условию
АМ=МС - по условию
ВМ - общая)
=> угол АВМ = углу СВМ, т.е. ВМ - биссектриса угла АВС,
а биссектриса в равнобедренном треугольнике является и медианой и высотой.
=> ВМ I АС
задача решается дополнительным построением, которое полезно запомнить.
пусть трапеция АВСD. АС = 3; ВD = 5; AD и ВС - основания.
Через точку C проводим прямую II BD до пересечения с продолжением AD. Точка пересечения - E. Площадь треугольника ACE равна площади трапеции (у них общая высота и одинаковая средняя линяя, поскольку АЕ = AD + BC.
Отрезок, соединяющий середины оснований, проходит через точку пересечения диагоналей О. Собственно, из подобия АОD и BOC следует, что медианы из точки О в обоих треугольниках составляют одинаковые углы с основаниями, то есть это - одна прямая, соединяющая середины оснований. Треугольник АСЕ тоже подобен АОD и BOC, и поэтому медиана в нем II этому отрезку. А значит, она ему равна (там получился параллелограмм, образованный медианой СМ треугольника ACE, отрезком, соединяющим середины оснований и отрезками оснований) :).
Итак, Площадь треугольника ACE равна площади трапеции, и в АСЕ известны 2 стороны 3 и 5 и медиана 2. Продолжим медиану СМ за её основание М на 2 и соединим полученную точку Р с A и Е. Получим параллелограмм ACEP (потому что диагонали делятся пополам в точке пересечения). Ясно из свойств параллелограма что площадь АСЕ = площадь CPE.
СРЕ - треугольник с заданными сторонами СЕ = BD = 5, PЕ = AC = 3, СР = 2*CM = 4.
Найти его площадь в общем случае можно по формуле Герона, но тут все просто - треугольник СРЕ прямоугольный (это просто следствие того что 9 + 16 = 25), и его площадь S = (1/2)*3*4 = 6.
Удивительно, ввел решение, и увидел, что задачу решили так же как и я : это приятно :)
2.Проведём перпендикуляр EH из точки E к плоскости ABC, это высота пирамиды. Тогда угол ECH будет углом между EC и плоскостью ABC. Так как H - середина квадрата в основании, CH=√2 (половина диагонали). CE=2√2. Так как треугольник ECH прямоугольный, а гипотенуза CE в 2 раза больше катета CH, угол CEH равен 30 градусам, а угол ECH равен 90-30=60 градусам.
3.Проведём апофему EK в грани ECD. Тогда угол EKH будет углом между плоскостями CDE и ABC. KH=1 (половина стороны квадрата основания), EK вычислим из треугольника EKD по теореме Пифагора (этот треугольник прямоугольный, так как EK - высота в равнобедренном треугольнике ECD). KD=1, ED=2√2, тогда EK=√7. Тогда cosα=1/√7=√7/7 - косинус угла EKH. Соответственно, сам угол равен arccos(√7/7).
4.BE+EC=BC. BC-AB=BC+(-AB)=BC+BA=BD. BD+DE=BE. BE=AE=2√2.
5.Плоскость AEC содержит прямую EH, перпендикулярную плоскости ABC. Следовательно, эти плоскости взаимно перпендикулярны.
Если что-то непонятно, пишите.