Дано:
тр АВС - р/б (АС - основание)
АМ, СК - медианы
АМ ∩ СК = О
Доказать:
тр АОК = тр СОМ
Доказательство:
1) Т.к тр АВС - р/ б и АМ и СК медианы по условию, то
а) АК=КВ=ВМ=МС
б) уг ВАС = уг ВСА (по св-ву углов при основании р/б тр)
2) тр АКС = тр СМА по двум сторонам и углу между ними, так как в них:
АС - общая сторона
АК = СМ (по п.1а)
уг КАС = уг МСА (по п.1б)
Следовательно, уг АКС = уг СМА и уг АСК = уг САМ
3) уг МАК = уг КСМ, как разность равных углов за минусом равных углов, по аксиоме измерения углов,
а именно уг МАК = уг ВАС - уг САМ и
уг КСМ = уг ВСА - уг АСК
4) Получили:
АК = СМ (из п 1а)
уг МАК = уг КСМ (из п 3)
уг АКС = уг СМА ( из п 2)
следовательно, тр АОК = тр СОМ по стороне и двум прилежащим к ней углам
MA+AB+BM)=0
(MB+BC+CM)=0
(MC+CA+AM)=0
...далее решаем систему - из которой будет следовать что MA+MB+MC=0.
МА = - (AB + BM)
MB = - (BC + CM)
MC = - (CA + AM)
далее -(AB + BM) - (BC + CM) - (CA + AM) = 0
Короче нужно использовать свойство что сумма векторов сторон треугольника равна нулю - а эта проклятая точка M делит треугольник на три непересекающихся треугольника. И заменять AB = -BA и типа того.