В прямоугольном треугольнике АКС угол К равен 60° (дано). =>
∠САК = 30°, значит АК - биссектриса угла А.
Биссектриса делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон (свойство). Тогда СК/КВ = АС/АВ.
Но АВ = 2·АС (так как катет АС лежит против угла В, равного 30°). =>
СК/КВ = АС/(2АС) = 1/2. =>
СК = КВ/2 = 12/2 = 6 см.
Или так:
∠АКС = 60° (дано) => ∠САК = 30° (по сумме острых углов прямоугольного треугольника САК). => ∠ВАК = 30°. =>
Треугольник АКВ равнобедренный, так как ∠В = 30° (по сумме острых углов прямоугольного треугольника АВС). и ∠ВАК = 30° (доказано выше). =>
АК = ВК = 12 см.
В прямоугольном треугольнике АКС угол КАС = 30°, значит
СК = АК/2 = 12/2 = 6см.
Или так:
Пусть СК = х. => ВС = 12+х.
В прямоугольном треугольнике АВС угол В равен 30° по сумме острых углов.
Tg(∠B) = tg30 = AC/BC = √3/3. =>
AC = √3·(12+х)/3. (1)
В прямоугольном треугольнике АКС угол К равен 60° (дано).
Tg(∠К) = tg60 = AC/CК = √3. =>
AC = х√3. (2).
Приравняем (1) и (2): √3·(12+х)/3 = х√3. => 12+х = 3х. =>
СК = х = 6 см.
Правильный многоугольник - это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.
Полезно запомнить формулы, выражающие сторону правильного n-угольника через радиус R описанной и через радиус r вписанной окружностей: а = 2R · sin(180°/n) и a = 2r · tg(180°/n), откуда
а₃ = R√3, а₄ = R√2 и а₃ = 2r√3, a₄ = 2r.
1) а = 6√3 - сторона правильного треугольника
а) Р = 3а = 3 · 6√3 = 18√3;
б) S = a²√3/4 = (6√3)² · √3/4 = 36 · 3 · √3 /4 = 27√3;
в) R = а/√3 = 6√3/√3 = 6;
г) r = а/(2√3) = 6√3/(2√3) = 3.
2) а = 5 - сторона квадрата
а) Р = 4а = 4 · 5 = 20;
б) S = a² = 5² = 25;
в) R = а/√2 = 5/√2 = 5√2/2;
г) r = а/2 = 5/2 = 2,5.
х²=(97√3)²+(х/2)²
х²-х²/4=28227
3/4 х²=28227
х²=28227·4:3
х²=37636
х=194
P=3·194=582