Даны координаты вершин пирамиды:
A (1; -2;1) В (3;1; -2) С (2;2;5) D (-2;1;0).
Вычислить: 1) объем пирамиды.
Вектор АВ: x y z
2 3 -3 Модуль (длина) = √22 ≈ 4,690416.
Вектор АС: x y z
1 4 4 Модуль (длина) = √33 ≈ 5,744563.
Вектор AД: x y z
-3 3 -1 Модуль (длина) = √19 ≈ 4,358899.
Объем пирамиды равен (1/6) смешанного произведения векторов:
(AB{x1, y1, z1} ; AC{x2, y2, z2} ; AD{x3, y3, z3})= x3·a1+y3·a2+z3·a3.
Здесь a1, a2 и a3 это результаты векторного произведения АВхАС.
Подставив координаты точек, получим:
x y z
AB*AC = ( 24 -11 5).
АД= ( -3 3 -1).
Объём пирамиды равен:
V = (1/6)*|24*(-3) + (-11)*3 + 5*(-1)| = (1/6)*110 ≈ 18,3333.
2) длину ребра AB - дана выше ;
3) площадь грани ABC равна половине векторного произведения АВхАС. Выше получили: AB*AC = ( 24 -11 5).
S(ABC) = (1/2)*√(24² + (-11)² + 5²) = (1/2)√722 ≈ (1/2)26,87006 ≈ 13,43503.
4) угол между ребрами AB и AD .
AB = (2 3 -3), |AB| = √22.
АД= ( -3 3 -1), |AD| = √19 .
Скалярное произведение равно 2*(-3) + 3*3 + (-3)*(-1) = -6 +9 +3 = 6.
cos(AB∧AD) = 6/(√22*√19) = 6/√418 ≈ 6/20,44505 ≈ 0,29347.
Угол равен 1,272942 радиан или 72,93421 градуса.
