Question

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол β отрезок соединяющий середину высоты пирамиды и середину бокового ребра равна в. найдите объем пирамиды

Answer 1

По определению
tgβ=OS/OC=h/OC
OC=h/tgβ
В основании правильной четырехугольной пирамиды квадрат. Значит, треугольник OCK прямоугольный равнобедренный. По т.Пифагора
OC²=(a/2)²+(a/2)²=a²/4+a²/4=a²/2
OC=a/√2
$\frac{a}{ \sqrt{2} } = \frac{h}{tg \beta } \\ a= \frac{h \sqrt{2} }{tg \beta }$
Треугольник OFK прямоугольный. По т.Пифагора
$b^2=( \frac{h}{2})^2+ ( \frac{a}{2})^2 \\ b^2=( \frac{h}{2})^2+ ( \frac{h \sqrt{2} }{2tg \beta })^2 \\ b^2=\frac{h^2}{4}+ \frac{h ^2 }{2tg^2 \beta } \\ b^2=h^2(\frac{tg^2 \beta +2 }{4tg^2 \beta }) \\ b=h \sqrt{\frac{tg^2 \beta +2 }{4tg^2 \beta }} \\ b=h \frac{\sqrt{tg^2 \beta +2} }{2tg \beta } \\ h= \frac{2b\,tg \beta }{\sqrt{tg^2 \beta +2}}$
Тогда
$a= \frac{2 \sqrt{2}* b\,tg \beta }{tg \beta\sqrt{tg^2 \beta +2}}= \frac{2 \sqrt{2}* b }{\sqrt{tg^2 \beta +2}}$
Формула объема правильной четырехугольной пирамиды
$V= \frac{1}{3} ha^2= \frac{1}{3} \frac{2b\,tg \beta }{\sqrt{tg^2 \beta +2}}( \frac{2 \sqrt{2}* b }{\sqrt{tg^2 \beta +2}})^2=\frac{16b^3\,tg \beta }{3(tg^2 \beta +2)^{3/2}}$