Question

Составить уравнений касательных к кривой , параллельных прямой x^2/25-y^2/16=1, 4x=3y

Answer 1

Составить уравнений касательных к кривой , параллельных прямой x^2/25-y^2/16=1, 4x=3y
Уравнение прямой имеет вид
4x=3y
y=4/3x
Отсюда видно, что угловой коэффициент равен 4/3. Поскольку угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона, который, в свою очередь, равен производной, получаем
y'(x₀)=4/3
С другой стороны
$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} =1 \\ y=(16(1- \frac{x^2}{25}))^{1/2}= \frac{4}{5}(25-x^2)^{1/2} \\ y'= \frac{4}{2*5}(25-x^2)^{-1/2}*(-2x)= \frac{-4x}{5 \sqrt{25-x^2} }$
$\frac{-4x}{5 \sqrt{25-x^2} }= \frac{4}{3} \\ \frac{x^2}{25 (25-x^2) }= \frac{1}{9} \\ 9x^2=25 (25-x^2) \\ 9x^2=25 *25-25x^2 \\ x^2(25+9)=25*25 \\ x= \sqrt{ \frac{25*25}{34} } = б\frac{25}{ \sqrt{34} }$
Координаты точек касания найдены.
Уравнение касательной имеет вид:
y=f(x₀)+4/3(x-x₀)
Найдем f(x₀)
$\frac{25^2}{25( \sqrt{34})^2}+ \frac{y^2}{16}=1 \\ \frac{25}{ 34}+ \frac{y^2}{16}=1 \\ y^2=16(1- \frac{25}{ 34})=16* \frac{9}{ 34} \\ y=б\frac{12}{ \sqrt{34} }$
Значит, уравнение касательной
$1) y= -\frac{12}{ \sqrt{34} }+ \frac{4}{3} (x- \frac{25}{ \sqrt{34} })= \frac{4}{3} x+\frac{-12*3-25*4}{3 \sqrt{34} }= \frac{4}{3} x-\frac{136}{ 3\sqrt{34} } \\ 2) y= \frac{12}{ \sqrt{34} }+ \frac{4}{3} (x+ \frac{25}{ \sqrt{34} })= \frac{4}{3} x+\frac{12*3+25*4}{3 \sqrt{34} }= \frac{4}{3} x+\frac{136}{ 3\sqrt{34} }$