Втреугольнике abc проведена биссектриса bm.точка k - точка касания вписанной окружности со стороной bc. km параллельна ab. найти сторону ab, если bc = 12, ac = 17
Тут вся соль в том, что AB/BC =(свойство биссектрисы) = AM/MC = (из за MK II AB) = BK/KC; Пусть точки касания вписанной окружности делят стороны треугольника на отрезки x y z, так, что x + y = AB; (надо найти) x + z = AC = 17; y + z = BC = 12; Из первой цепочки равенств следует, что (x + y)/(y + z) = y/z; или xz = y^2; если подставить x = 17 - z; y = 12 - z; получится квадратное уравнение (12 - z)^2 = (17 - z)z; или 2z^2 - 41z + 144 = 0; откуда z1 = 16; z2 = 9/2; Ясно, что z < 12; поэтому остается корень z = 9/2; x + y + 2z = 17 + 12 = 29; откуда x + y = 20; AB =20;
Вариант решения. Около окружности единичного радиуса описана равнобочная трапеция, у которой одно основание вдвое больше другого. Найти среднюю линию трапеции. --------- Четырехугольник можно описать около окружности тогда и только тогда, когда равны сумы его противололожных сторон. В трапеции АВСD АВ+СД=ВС+АД. АВ=СД. ВС+АД=2 АВ. Опустим из В высоту ВН. Высота трапеции ВН равна диаметру вписанной окружности и равна 2, так как. радиус окружности равен единице. Пусть ВС=2а. Тогда АД=4а. 2АВ=ВС+АД=6а АВ=3а АН=а. ВН=2 По т. Пифагора ВН²=АВ²-АН² 4=9а²-а² 4=8а² а²=2/4 а=(√2):2 Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: 6а:2=3*(√2):2
Около единичной окружности рисуем равнобочную трапецию. Обозначим трапецию ABCD, Нижнюю левую вершину буквой A. Проведем среднюю линию трапеции и обозначим MN, M лежит на стороне AB. Центр единичной окружности обозначим O . AB=a, AD=2a, радиус окружности равен 1. Средняя линия MN=(BC+AD)/2=(a+2a)/2=3a/2=1,5a. Надо найти величину a. Известно, r=1. Соединим центр окружности O с точкой касания окружности на стороне AB, Точку касания обозначим P. Отрезок OP- радиус окружности и он перпендикулярен стороне AB. Продлим стороны AB, CD до пересечения. Точку пересечения назовем буквой K. Треугольник AKD-равнобедренный. BC-средняя линия треугольника, так как AD=2BC,BC//AD, как основания трапеции.. Из вершины K треугольника AKD опустим высоту KL, L- точка пересечения с основанием AD, T- точка пересечения с основанием BC. Рассмотрим два треугольника: AKL и OPK. Эти треугольники- подобные. Стороны взаимно перпендикулярны и общий угол. KL перпендикулярна AD, OP перпендикулярна AB, угол K- общий. Запишем пропорцию: AL/OP=KL/PK, AL=a, OP=1, KL= 4 (BC-средняя линия треугольника, LT- высота трапеции, LT=2, точка T лежит на средней линии треугольника, значит высота KL=4), вычислим PK. Рассмотрим треугольник OPK. OP=1 , OK=3. PK²= OK²-OP², PK²= 3²-1²=9-1=8, PK=√8=2√2. Подставим все величины в пропорцию. a/1=4/2√2, a= 1·4/2√2, a= 2/√2=2·√2/√2·√2=√2, a =√2, MN= 1,5a=1,5·√2= 3√2/2. MN=3√2/2.
AB/BC =(свойство биссектрисы) = AM/MC = (из за MK II AB) = BK/KC;
Пусть точки касания вписанной окружности делят стороны треугольника на отрезки x y z, так, что
x + y = AB; (надо найти)
x + z = AC = 17;
y + z = BC = 12;
Из первой цепочки равенств следует, что
(x + y)/(y + z) = y/z; или xz = y^2; если подставить x = 17 - z; y = 12 - z; получится квадратное уравнение (12 - z)^2 = (17 - z)z; или
2z^2 - 41z + 144 = 0; откуда z1 = 16; z2 = 9/2;
Ясно, что z < 12; поэтому остается корень z = 9/2;
x + y + 2z = 17 + 12 = 29; откуда x + y = 20;
AB =20;