Question

Равнобедренный треугольник abc с основанием ас вписан в окружность с центром о. площадь треугольника abc 4 корня из 2, угол в равен 45 градусов. прямая, проходящая через точку о и середину bc, пересекает сторону ab в точке k. найдите площадь треугольника bck.

Answer 1

Так как   $AB=BC$ 
То $S=\frac{AB^2}{2}*sin45=4sqrt{2}\\ AB=4$ 
Докажем что треугольник  $BKC$ так же равнобедренный. 
Радиус описанной окружности равен 
$AC=\sqrt{2*4^2-2*4^2*cos45}=4\sqrt{2-\sqrt{2}}$  
$R=\frac{4\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2sin45}=2\sqrt{4-2\sqrt{2}}$ 
Рассмотрим треугольник  $BOM$ , угол  $OBM=\frac{45}{2}$ 
По теореме косинусов 
 $OM=\sqrt{2\sqrt{4-2\sqrt{2}}^2+2^2-2*2*2\sqrt{4-2\sqrt{2}}*cos\frac{45}{2}} =2\sqrt{2}-2$ 
То угол  $BMO$  кратен $\pi\*n-\frac{\pi}{2}<180\\ n=1\\ BOM=90а$ 
То есть угол  $BKC=90а$ 
$BC^2=2KB^2\\ KB=\sqrt{8}\\ S_{BCK}=\frac{KB^2}{2}=4$