Дано :
Четырёхугольник ABCD — прямоугольник.
Отрезки АС и BD — диагонали.
Точка О — точка пересечения диагоналей.
∠ABD = 36°.
Найти :
∠АOD = ?
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.
Отсюда —
АО = ОС = ВО = OD.
Рассмотрим прямоугольный ∆ABD.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
Следовательно —
∠ABD + ∠BDA = 90°
∠BDA = 90° - ∠ABD
∠BDA = 90° - 36°
∠BDA = 54°.
Рассмотрим ∆AOD — равнобедренный.
У равнобедренного треугольника углы при основании равны.
Следовательно —
∠ODA = ∠OAD = 54°.
По теореме о сумме углов треугольника —
∠ODA + ∠OAD + ∠AOD = 180°
54° + 54° + ∠AOD = 180°
108° + ∠AOD = 180°
∠AOD = 72°.
72°.
Прямоугольные треугольники ADM и ADE подобны, то есть AM/AB = AB/AE; или
AM*AE = AB^2;
Ясно, что AM = AC/2; Для AE возможны два варианта
1) точка E лежит ВНУТРИ ромба. В этом случае угол A ромба острый.
AE = AC - CE;
Получается уравнение (AC/2)*(AC - 12) = 8^2*5; AC^2 - 12*AC - 640 = 0 ;
или AC = 32; отсюда AM = 16; BM^2 = (8^2*5 - 16^2) = 8^2; BD = 2*BM = 16; это меньшая диагональ.
2) точка E лежит ВНЕ ромба. В этом случае угол A ромба тупой.
AE = AC + CE;
Получается уравнение (AC/2)*(AC + 12) = 8^2*5; AC^2 + 12*AC - 640 = 0;
или AC = 20; это меньшая диагональ.
В задаче есть 2 варианта решения - в зависимости от того, где лежит точка E (или - какой угол A - острый или тупой).