Question

Четыре дома расположены в вершинах выпуклого четырехугольника. где надо вырыть колодец, чтобы сумма расстояний от него до четырех домов была наименьшей. заранее за

Answer 1

Условие схоже  с условием точкой Торичелли. 
Положим что точка $O$     это точка колодца 
По неравенству треугольников 
 $AO+OB \geq AB\\ AO+OD \geq AD \\ BO+OC \geq BC\\ DO+OC \geq DC$ 
 складывая 
 $AO+OB+OD+OC \geq \frac{AB+BC+CD+AD}{2}$   
равенство выполняется когда $O \in AB$  
 тогда 
 $DO+OB \geq BD\\ AO+OC \geq AC$ 
 а это и верно для     диагоналей  трапеций ,  заменяя $O -O'$  *точка пересечения  диагоналей)
 откуда следует что точка пересечения  диагоналей